Re: [理工] [工數]-高階ODE

[kusorz (tryone)]

※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言：
: (x^2-2x)y''+2(1-x)y'+2y=6(x^2-2x)^2
: 我看出一齊性解y=x^2    let y=vx^2  帶入
: (x^2-2x)(v''^2+2v'x+2v)+2(1-x)(2xv+v'x^2)+2vx^2=6(x^2-2x)^2
: v"(x^4-2x^3)+v'(-2x)=6(x^2-2x)^2
: v"+v'(-2/(x^2-2x))=6(x-2)^2
: v"+v'(-2/(x^2-2x))=6(x-2)^2
: I=x/(x-2)     v'=2x^2(x-2)-6x(x-2)+C1(x-2)/x
: v=1/2 x^4-10/3 x^3+6x^2+C1x-2C1lnx+C2
: y=vx^2
: 但答案是=y=c1x^2+c2(x-1)+(x^3-3x^2)(x-1)   不知道是錯在哪呢?
: 還有x^3y"-4xy'+4y=0   這題完全沒頭緒
: 答暗是 y=cix+c2xexp(-4/x)
: 請教各位了 謝謝

              2(1-x)         2
        y''+ -------- y'+ -------- y = 6x(x-2)
              x(x-2)       x(x-2)


        y=uv    u=x^2   y=vx^2

        y'=v'x^2+v2x

        y''=v''x^2+v'2x+v'2x+v2 = v''x^2 +4v'x+ 2v
                                          ~~~~

                4     2(1-x)         6x(x-2)
        v''+ ( --- + --------) v' = ---------
                x     x(x-2)           x^2

                3     -1          6x(x-2)
        v''+ ( --- + ---- ) v' = ---------
                x     x-2           x^2

                x^3
        I(x) = -----
                x-2

              x-2     x^3  6x(x-2)
        v'= ------[∫----- ------- dx + c1 ]
              x^3     x-2    x^2

              x-2
        v'= ------[2x^3 + c1]
              x^3
                        x-2
        v'= 2(x-2) + c1------
                        x^3
                                x-2
        v = ∫2(x-2) dx + c1∫------ dx
                                x^3
                           -2       1
        v = x^2-4x +c1 ∫(----- + ----- )dx +c2
                           x^3     x^2

                         1     -1
        v = x^2-4x +c1(---- + -----) +c2
                        x^2     x

        y = uv

        y = x^4 -4x^3 +c1(1-x) + c2x^2


你在算看看!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.204.132.219
推 winer8:喔!!原來少了那個    那另外一題我就真的不知道了
→ kusorz:第二題是已知一齊性解y=x
→ shinyhaung:可是我代公式積分不出來=  ="
推 winer8:我也不會積= =
※ 編輯: kusorz          來自: 123.204.132.219      (08/20 02:29)
推 winer8:我想說會不會是其他方法能解?
推 iiiii:我也是算這個答案...但是原問者給的答案好像有點不太一樣
→ iiiii:我也是老喻派的
→ wuki:給樓上，答案是一樣的。只是差在係數合併的問題。