推 youmehim:把分子e^t湊成[e^t + e^-t] - [e^-t] 前項可以跟分母約分 08/23 18:27
※ 引述《youmehim (哩挖伊)》之銘言：
: 1.
: 耍人呀 = = 係數應該沒y吧...
: 2 3
: x y" - x(x+2)y' + (x+2)y = 2x
: 觀察得一齊性解為x
: Let y = xu , y' = u + xu' , y" = 2u' + xu"
: 2 3
: x (2u'+xu") - x(x+2)(u+xu') + (x+2)xu = 2x
: 除以x並且乘開
: 2 2 2
: 2xu' + x u" - xu - 2u - x u' - 2xu' + xu + 2u = 2x
: 2 2 2
: x u" - x u' = 2x
: Let p = u'
: p' - p = 2
: dp
: ---- = 2 + p
: dx
: dp
: ----- = dx
: 2+p
: ln|p+2| = x + c*
: x
: p+2 = c1 e
: x
: p = u' = c1 e - 2
: x
: du = (c1 e - 2) dx
: x
: u = c1 e - 2x + c2
: x 2
: y = xu = c1 xe + c2 x - 2x
: 2.
: t
: 2e
: y" - y = ---------
: t -t
: e + e
: 先求齊性解
: mt
: Let y=e
: 2
: m - 1 = 0 m = 1 or -1
: t -t
: yh = c1e + c2e
: t t
: 2 e 1 1 e
: yp = --------- --------- = (------- - -------) ---------
: 2 t -t D - 1 D + 1 t -t
: D - 1 e + e e + e
: 2t
: t 1 1 -t 1 e
: = e --- --------- - e --- ---------
: D t -t D t -t
: e + e e + e
: t t -t -t
: t e -t ( e + e ) - e
: = e ∫--------dt - e ∫-----------------dt
: 2t -2t
: e + 1 1 + e
從這裡
: t t -t -t
: Let x = e , dx = e dt , z = e , dz = -e dt
: t 1 -t t 1
: = e ∫-------dx - e ( ∫e dt - ∫------- dz )
: 2 2
: x + 1 z + 1
變到這裡的↑↑
t
我不太董也 我怎麼都弄不出來 S e dt ...
感謝這位大大 讓我豁然開朗
只剩下這裡不太明白~~
: t -1 t -t -1 -t
: = e tan e - 1 + e tan e
: t -t t -1 t -t -1 -t
: y = yh + yp = c1e + c2e - 1 + e tan e + e tan e
: 3.
: ∫(xlnx - x)dx
: 2 1
: Let u = x , du = 2xdx , v = lnx , dv = ---dx
: x
: 1 1
: = ---∫(v-1)du = ---[ u(v-1) - ∫udv ]
: 2 2
: 1 2 1 2 3 2
: = ---[ x (lnx - 1) - ∫xdx ] = --- x lnx - --- x
: 2 2 4
: 4.
: ix 1
: Im[e ------------------ x]
: 2
: D + 2(i+1)D + 2i
: 分母先提個2i 讓D的零次方項為1
: ix
: e 1
: = Im[----- ------------------------- x]
: 2i i+1 1 2
: 1 + (----- D + ---- D )
: i 2i
: 1 2
: 代入泰勒展開式 ------- = 1 - t + t - …
: 1 + t
: 由於只作用在x的一次方上 取到D的一次方就夠了
: ix
: e i+1
: = Im[----- (1 - -----D)x]
: 2i i
: 2
: 所以剛剛分母那也可以直接把D 項去掉 答案亦同
: 5.
: y" + 4y = cos2x
: mx
: Let y = e
: 2
: m + 4 = 0 , m = ±2i
: yh = c1 cos2x + c2 sin2x
: 1
: yp = ------- cos 2x
: 2
: D + 4
: 1 2ix
: = Re [------- e ]
: 2
: D + 4
: 1 1 1 2ix
: = Re [---- (------ - ------)e ]
: 4i D-2i D+2i
: 1 2ix -2ix 4ix
: = --- Re [-i(xe - e ∫e dx )]
: 4
: 4ix
: 1 2ix -2ix e
: = --- Re [-i(xe - e -------)]
: 4 4i
: 1 1
: = --- Re [-i x(cos2x + i sin2x) + ---(cos2x + i sin2x)]
: 4 4
: 1 1
: = --- (xsin2x + ---cos2x)
: 4 4
: 1
: y = yh + yp = c1 cos2x + c2 sin2x + ---xsin2x
: 4
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.91.86