作者CRAZYAWIND (怒火燒不盡)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-二階變係數ode
時間Fri Aug 28 23:53:56 2009
應版友要求= =
xy'' +2(x-1)y' + (x-2)y = 0
" (2x-2) x-2
y + ------- y'+ ------- =0
x x
↑ ↑
P Q
因為前面所以判別法全都失敗
1 2 1 '
進而由 Q - ----- P - ---P
4 2
x-2 1 2x-2 2 1 2x-2
------ - ---(------) - ---(-----)'
x 4 x 2 x
2 2 1 1 2 A
= 1 - ---- - 1 + --- - ----- - ----- = - ----- = ------
x x x^2 x^2 x^2 x^2
A R
由此可用v" + ----- v = ----
x^2 u
可令 y = uv
積分(S-p/2 dx) -x
u = e = xe
將上面代回ODE中順便化簡
2
x v" -2v = 0
mt
令 y = e t = lnx
euler cauchy 方程式
[ D(D-1) - 2 ]v = 0
-t 2t
可解得 v = c1e + c2e
-1 2
= c1x + c2x
-x -1 2
y = uv = xe (c1x +c2x )
-x 3 -x
= c1e +c2x e
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: <1>.
: u 帶入 ode = 0
: 經驗公式一
: n
: y = cx
: 得一齊性解 V
: y = uv
: <2>
: u 帶入 ode =/= 0
: 2
: 則用 D + pD + Q = R 經驗公式二
: 1 2 1 c
: Q - ---p - ---p' = c 或是 ----
: 4 2 2
: x
: 1
: 另 u = exp[ - --- S pdx ]
: 2
: <3>.
: u 帶入
: 1 2 1 c
: Q - ---p - ---p' =/= c 或是 ----
: 4 2 2
: x
: 則用 自變數變更法
: 問題來了
: 書上寫 u帶入 是 u=1 帶入x 嗎
: 如果帶入ode = 0 就用 <1>
: 如果不等於 0 就用<2> <3>
: 但是 用<1> 有經驗公式
: n
: y = cx
: n-1
: y' = cnx
: 如果等於0 都是帶上面那個嗎 周易只有教這個
: 但是我寫寫真密集題目
: 遇到一題 xy'' +2(x-1)y' + (x-2)y = 0
: mx
: 是 try y = e
: n
: 用 y = cx
: 做不出來也
: 所以這兩個 經驗公式公式起來嗎
: 還是這兩個有什麼差別 一個是 exp 一個 是 x...
: c
: <3> u 是帶1 進去 判別是不是 c 或是 ----
: 2
: x
: 這是我剛剛遇到的問題
: 看的懂嗎 @@
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◆ From: 59.105.159.190
推 mdpming:~~ 08/28 23:58
→ hihaka2001:厲害!! 08/29 00:12
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (08/29 00:17)
推 youmehim:x不是顯明解 08/29 01:37
其實我剛剛就想了一陣子= = 我想不到有啥理由來解決這個 X 第一次遇到多個X的解
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (08/29 01:43)
推 youmehim:[ D(D-1) - 2D ]v 這裡應該是 [ D(D-1) - 2 ]v 才對 08/29 01:54
→ CRAZYAWIND:阿 原來是算糊塗了 感謝你 08/29 01:57
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (08/29 02:01)