推 SONGya168:格式請修正 08/29 10:27
※ 引述《KFS (oh)》之銘言：
: C : x^2 + y^2 in the plane from(1,0) to (0,1)
: folloewd by the horizontal segment from (0,1) to (2,1)
: 積分∫c x^2y dx + y^2dy
: 答案是3-π/16 嘛? 可否提示做法?
: 本身自修工數
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終於看懂題目的 C 再說啥...
題目要你求的積分路徑
是先從 (1,0) ，沿著 x^2 + y^2 = 1 跑到 (0,1)
再從 (0,1) 筆直跑到 (2,1)
所以你題目應該要這樣打會比較好:
C : x^2 + y^2=1 in the plane x-y from (1,0) to (0,1)
否則您所謂的 plane，萬一是指空間座標的 y-z 或是其它 plane
那答案可能就不一樣了 = =
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set curve C1: x^2 + y^2=1 in the plane x-y from (1,0) to (0,1)
C2: horizontal segment from (0,1) to (2,1)
<1>
let x = cosθ → C1:{ (r,θ) | 0 <= θ <= π/2 、 r=1 }
y = sinθ
2 2
then ∫ x y dx + y dy
C1
π/2 2 2
= ∫ cosθsinθ(-sinθ) dθ + sinθcosθ dθ
0
π/2 -1 2 2
= ∫ ___ sin 2θ dθ + sinθ d(sinθ)
0 4
π/2 cos4θ - 1 2
= ∫ __________ dθ + sinθ d(sinθ)
0 8
1 θ 1 3 π/2
= ___sin4θ - ___ + ___sinθ |
32 8 3 θ=0
1 π
= ___ - ___
3 16
<2>
2 2
∫ x y dx + y dy
C2
1 3 (x,y) = (2,1) ---> 因為只有 x 有變化
= ___ x y | 對x來說，y視為常數
3 (x,y) = (0,1) 且對 y積分必恆為 0
8
= ___
3
by <1> <2>
2 2 2 2 2 2
∫ x y dx + y dy = ∫ x y dx + y dy + ∫ x y dx + y dy
C C1 C2
1 π 8
= ___ - ___ + ___
3 16 3
π
= 3 - ___
16
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