[理工] [工數]-變係數ode

[mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)]

很高興昨天板友讓我這一節 觀念加深不少


剛剛 做題目發現


有一題 跟昨天很類似 蛋遇到一些問題


                             3
                            ---
   2             2   1       2
  x y'' + xy' +(x - ---)y = x
                     4



                        sinx
題目給你一個齊性解 y = ------
                        根號x



我想 經過昨天的磨練 我不想用題目給的齊性解


用


        1                 1
   P = ---      Q = 1 - ----
        x                 2
                        4x

  P + Qx

  1 - P + Q

  1 + P + Q    都不等於0 所以 下一步


       1  2   1
  Q - ---P - ---P' = 1
       4      2


所以

                      1
  有一解  u = exp[ - --- S Pdx ]         S 積分符號
                      2


       -1
       ---
        2
得 u = x


=====================================================================


第一種方法 算yh


        -1
        ---
         2
另 y = vx     -3       -1
              ---      ---
            1  2        2
   y'= - v ---x   +  v'x
            2

   y'' = 就不打了..


               1               1
算出 yh = c1 -----cosx + c2  -----sinx
             根號x           根號x




 第二種方法 算yh               3    1
                              ---  ---
              1  2   1         2    2      R
  V'' + (Q - ---P - ---P')V = x  * x   ← ---   (通式)
              4      2                     u



            2
 V'' + V = x



               1               1
算出 yh = c1 -----cosx + c2  -----sinx
             根號x           根號x




所以接下來 把 yp 算出來 答案就出來了



         1       2
yp = ---------- x
        2
       V + 1

      2
   = x + 2






               1               1           1
答案 y  = c1 -----cosx + c2  -----sinx + -----
             根號x           根號x       根號x



怎麼跟我算的不一樣


我最後哪裡算錯了

我算式中不知道有沒有錯誤的觀念 請板上 高手 幫我檢查一下了 @@




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.91.86
※ 編輯: mdpming         來自: 114.32.91.86         (08/29 21:59)
推 youmehim:R=x^-1/2
推 youmehim:         vp=1
→ mdpming:           再乘以U 答案就出來了 哈哈哈哈哈
→ mdpming:     是這樣媽~~ 是再乘以 U 答案就出來了嗎
→ mdpming:為什麼 R=x^-1/2 是因為要 讓題目的 y'' 係數變1 嗎
→ youmehim:二階變係數ODE的標準式為 y" +P(x)y' + Q(x)y = R(x)
推 CRAZYAWIND:你原本在求P(x) 跟Q(x) 忘了連右邊的輸入項都除了= =
→ mdpming:被發現了