[理工] [線代]-對角化

[BumbEgg (該期待什麼呢?)]

Find all eigenvalues and a basis for the corresponding eigenspace for the

               ／ 3  1  0 ＼                                100
matrix .   A =∣  0  1  0  ∣  Use your answer to compute  A   B
               ＼ 4  2  1 ／

                      T
where B = 〔 2  2  8 〕  .

-----------------------------------------以上為題目

書上解得特徵根為 1 跟 3

                                ／ 0 ＼         ／ -1 ＼
V(1) = ker(A - I) = span( v1 = ∣  0  ∣ , v2 =∣   2  ∣ )
                                ＼ 1 ／         ＼  0 ／

                                 ／ 1 ＼
V(3) = ker(A - 3I) = span( v3 = ∣  0  ∣)
                                 ＼ 2 ／

-------到這步都還能理解,以下就想不出所以然-------

因為 B = 2(v1) + (v2) + 3(v3)

 100     100
A   B = A   〔2(v1) + (v2) + 3(v3)〕

           100        100          100
      = 2 A   (v1) + A   (v2) + 3 A   (v3)

            100        100         100
      = 2× 1   (v1) + 1   (v2) +3×3   (v3)

      =...


這是書上的解法,部分打出

1.我不了解為何 B 要用, ker 1 跟 3 的 base 去取代 ? 有哪一章節的定理提
  到這方法嗎 ? 不太能理解為何要這樣處理

2.另ㄧ個不懂得點是, A = PD(P^-1) , P與D皆可求出,但書上的解法是直接將
  A的100次方帶入, 而並不是 (P)乘(D的100次)乘(P的反矩陣) 再乘 B 矩陣..

3. 若想不出書上的解法式不是只能用( A^100 ) = (P)(D^100)(P^-1)處理?
   有其他的方法嗎 ? 這題計算還蠻繁複的..











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◆ From: 218.169.223.124
※ 編輯: BumbEgg         來自: 218.169.223.124      (08/29 22:09)
→ ssccg:這個解法其實就是 B = P([2 1 3]^t)
→ ssccg:A^100 = P(D^100)(P^-1)，所以(A^100)B = P(D^100)[2 1 3]^t
→ ssccg:其中 P = [v1 v2 v3]，觀念都是一樣的
→ ssccg:就是把要乘的向量分解成eigenvector的線性組合
→ ssccg:利用 (A^n)x = (λ^n)x，然後再把算完後的向量合起來而已
ss大 我現在有點糊   我打我現在的想法你幫我看看是不是這樣
你的意思是說 把B 弄成 三個 basis組成的形式
然後再用 特徵根 和  (A^n)x = (λ^n)x  公式的形式表出?
x為v1 v2 v3 各別


但若是B = P([2 1 3]^t)
A^100 B = P(D^100)(P^-1)P([2 1 3]^t)= P(D^100)([2 1 3]^t)
但這樣好像又... A^100 B = P(D^100)([2 1 3]^t)
我照這算出來答案跟書上不ㄧ樣耶..

→ BumbEgg:ss大 我不太懂 (A^100)B = P(D^100)[2 1 3]^t 那B應是
→ BumbEgg:P的反矩 乘上B 吧 是嗎?
→ ssccg:(A^100)B = P(D^100)(P^-1)P([2 1 3]^t) =P(D^100)[2 1 3]^t
→ ssccg:B = P([2 1 3]^t)就是B = 2(v1)+(v2)+3(v3)
→ ssccg:你說的是[2 1 3]^t = (P^-1)B，就是B以v1v2v3為basis的座標
→ BumbEgg:有點糊.. A^100=P(D^100)(P^-1) 與 B=P[v1 v2 v3]^t 這邊
→ BumbEgg:接不太上...
※ 編輯: BumbEgg         來自: 218.169.223.124      (08/29 23:03)
→ BumbEgg:不對  是我計算有誤 答案是依樣的
→ BumbEgg:我懂了  謝謝你!!
推 ieric:推一個~~~釐清了一些觀念@@