[理工] [工數]-ODE

[hihaka2001 (hihaka)]

xy''+2y'-xy=2*exp(x)
我看出y1=exp(x)
用降階法
發現積分積不出來


所以換一個方法
Let y=exp(x)*v
帶入
v''+(2+2/x) v' =2

I=exp( 2 + 2/x )dx
=exp(2x)*x^2

Iv' = S I * 2
    = S exp(2x)*x^2 *2
by part

v'= x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2

積分
v= S [x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2]dx
then
 x - ln x -1/2x +c1* S[ 1/ exp(2x)*x^2]dx
這個積分不太會積 請各位幫幫忙
謝謝

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◆ From: 122.147.16.83
→ doom8199:左邊積分有積錯，不可能會跑出 lnx 這項 OTZ
→ doom8199:右邊那個積分無法寫出 closed form ，直接用積分式
→ doom8199:表示答案即可
→ doom8199:囧，我以為 exp(2x)*x^2 只除右邊的c1，那左式應該沒問題
→ hihaka2001:v'那邊的積分嗎
→ doom8199:∫e^(-2x)/x^2 dx    這個別理它，沒辦法積～～
→ hihaka2001:可是這題用y=exp(x)*v帶入可得到答案
→ hihaka2001:為c1exp(x)/x +c2exp(x)/x +exp(x)
→ doom8199:那就要檢查過程了...
→ doom8199:很明顯 v''+(2+2/x) v'=2 這行就有問題。若 e^x 是解
→ doom8199:那 v=1 也要是解，但帶入後 0=2 矛盾　＝＝
→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x)
→ hihaka2001:v''(2exp(x)/exp(x) + 2/x) v' =2exp(x)/exp(x)
推 doom8199:我猜你是代 uv''+(Pu+2u')v' + (u''+Pu'+Qu)v=f(x)
→ doom8199:但 u''+Pu'+Qu = f(x)  (以此提來說 f(x) = 2e^x/x)
→ doom8199:並非 0  XD
→ hihaka2001:那請問喔為什麼u''+pu'+qu'=f(x)
→ doom8199:因為 u=e^x 是你找到的解，解帶入方程式等號成立～～
→ hihaka2001:exp(x)帶入成立
→ hihaka2001:可是愈老的筆記寫說 帶入成立就跳
→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x)
推 doom8199:我猜那是指 f(x)=0 的 case，f(x)≠0 ，"絕對"不會長這樣
→ doom8199:而且你對 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 求解
→ doom8199:可能解出 v' = C1*a(x) → v = C1∫a(x) + C2
→ doom8199:通解 y = C1u∫a(x) + C2u ，這解也是 linear →  f =0
→ hihaka2001:sorry我算錯了 = =v''+(2+2/x)v'=2/x
→ hihaka2001:可是改過來還是會遇到 v' I =S x^2 exp(2x) * 2/x
→ hihaka2001:還是有積分是出現
→ hihaka2001:所以你的意思說不同方法可能解出的答案有的是不帶積分
推 doom8199:不是，若答案可積，但你算出不可積的答案，表示一定算錯
→ doom8199:我知道為何愈老說要直接跳，因為他把解拆 yc + yp
→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x)  ---> 專解 yc
→ doom8199:假設解出來是 v = C1*a(x) + C2*b(x) ，那通解就是
→ doom8199:y = [C1*a(x) + C2*b(x)]*u + u
→ hihaka2001:喻老 y=u v
→ hihaka2001:你也是愈老的學生喔
→ hihaka2001:其實現在問題是在S x^(-2) * exp(2x) dx怎麼積=  =
→ doom8199:不是　＝＝...  是的話我剛就直接點出為何要這樣套了XD
→ hihaka2001:這題難道BUG了嗎
→ doom8199:我剛剛好像有點誤解他跳的意思 ～～
→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x)  ---> 這行要成立，須滿足：
→ doom8199:u''+Pu'+Qu = 0  。所以並非你解錯
→ doom8199:而是 u=e^x 不是它想要的
→ hihaka2001:那拜託你可以想想哪裡錯了~~我太笨了想不到
→ doom8199:就是你要先找出 xu''+2u'-xu =0 的一組解 u
→ doom8199:才能套 uv''+(2u'+pu)v'=R(x)  去解～～
→ hihaka2001:xu''+2u'-xu =0 (這是哪來的??)
→ hihaka2001:董!!可是一般好像不太會檢查ㄟ= =
→ doom8199:你先別管公式還啥的， nonlinear 解可以寫成 y=yc + yp
→ doom8199:若你找到 yp ，則只剩下 yc 要解
→ doom8199:自然就會去解 xy''+2y'-xy = 0
→ doom8199:當然題目ㄧ般都會給你一組 yc 的解～～
→ hihaka2001:所以你的意思說xy''+2y'-xy = 0要解出一個解然後他是U
→ hihaka2001:然後Y=UV帶入且方程式
→ doom8199:對，若您想用 "以解找解" 方式的話XD
→ hihaka2001:這題真棒 讓我進一步了解了哈哈不然做太順都沒想奈麼多
推 CRAZYAWIND:這題從一開始就錯了吧= = 1+P+Q =0 y1=/=e^x
推 CRAZYAWIND:這題用1+P+Q =/= 0 所以 y1 =/= e^x
→ hihaka2001:可是exp(x)帶進去和ㄟ
→ doom8199:e^x 是 yp ，不是 yc  XD
推 CRAZYAWIND:D'Alembert 降階法是知道一個 其次解 可以降一階= =