→ iyenn:1/(3sinx - 4cosx) 看成1/5sin(x-A) A=tan^-1(4/3) 這樣呢? 09/04 01:29
推 youmehim:樓上高招 09/04 01:53
→ doom8199:我有想過這樣積，只是我個人習慣積出來的函數，盡量別 09/04 02:02
→ doom8199:出現那類常數，當然事後整理也是 ok ︿︿ 09/04 02:03
※ 引述《chris1 (小刀)》之銘言：
: http://tinyurl.com/nl7tya
: 第四題，怎麼換來換去就是算不出來....
: 還有請教一下第八題是要用到麥克勞林嗎？我還是算不出來...
: 請高手指點一下...謝謝
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4.
凡是被積分函數的分母含有三角函數的型態
通常會用半角公式將之代換成 分式型函數 f(z)/g(z)
然後再拆成部份分式去積分:
set z = tan(x/2) → sinx = 2z/(1+z^2)
cosx = (1-z^2)/(1+z^2)
dx = 2/(1+z^2) dz
原 po 你可以試著去代換看看
我打算直接積，其實方法一樣，只是容不容易看的問題 :
1 1
∫ _____________ dx = ∫ ___________________________________________ dx
3sinx - 4cosx 6sin(x/2)*cos(x/2) - 4*{2*[cos(x/2)]^2 - 1}
[sec(x/2)]^2
= ∫ ________________________________ dx
6tan(x/2) - 4*{2 - [sec(x/2)]^2}
2
= ∫ ________________________________ d[tan(x/2)]
6tan(x/2) - 4*{1 - [tan(x/2)]^2}
1/2
┌── = ∫ ________________________________ d[tan(x/2)]
｜ [ tan(x/2) + 3/4 ]^2 - 25/16
｜
｜ -2 -1 4
｜ (sol.) = ___ tanh { ___[ tan(x/2) + 3/4 ] } + C
｜ 5 5
｜
｜
└──→ （若不知道 ∫1/(1-x^2) dx = arctanh(x) + c ）
（請直接跳下面步驟）
↓↓↓
1/2 d[tan(x/2)]
= ∫ ____________________________________________
[tan(x/2) + 3/4 + 5/4][tan(x/2) + 3/4 - 5/4]
-1/5 1/5
= ∫ ______________ + ________________ d[tan(x/2)]
[tan(x/2) + 2] [tan(x/2) - 1/2]
-1
(sol.) = ___{ln｜tan(x/2) + 2｜ - ln｜tan(x/2) - 1/2｜} + C
5
8.
x 2x
yc = C1*e + C2*e ---> 若不知道怎來的我再補過程
yp: set yp = ax + b + cx*e^(2x)
→ yp' = a + c(1+2x)*e^(2x)
yp'' = c(4+4x)*e^(2x)
2x
帶入 y'' - 3y' + 2y = 4x + e
2x 2x 2x 2x
→ c(4+4x)e - 3[a + c(1+2x)e ] + 2[ax + b + cxe ] = 4x+e
2x 2x
→ 2ax + (-3a+2b) + ce = 4x + e
比較係數: 2a = 4
-3a+2b = 0
c = 1
解得 a = 2 、 b = 3 、 c = 1
因此 y = yc + yp
x 2x 2x
= C1e + C2e + 2x + 3 + xe
然後再由 y(0) = 0 、 y'(0) = 1 解出 C1=-4 、 C2=1
x 2x 2x
即 y = -4e + e + 2x + 3 + xe
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上述方法起碼要會用～～
不過有給 initial condition ，通常會用 Laplace去解 :
set L{y(x)} = Y(s)
y'' - 3y' + 2y = 4x + e^(2x) , y(0)=0 , y'(0)=1
→ (s^2*Y-1) - 3(sY) + 2Y = 4/s^2 + 1/(s-2)
→ (s-1)(s-2)Y = 4/s^2 + 1/(s-2) + 1
→ Y = 4/s^2(s-1)(s-2) + 1/(s-1)(s-2)^2 + 1/(s-1)(s-2)
= 3/s + 2/s^2 - 4/(s-1) + 1/(s-2) + 1/(s-2)^2
→ y = 3 + 2x - 4e^x + e^(2x) + xe^(2x)
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