推 mdpming:推推推~~感恩 09/07 15:43
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
問題很多，一個一個來= ="
: 1
: 一個二階ode
: y'' + p(x)y' + Q(x)y = 0
: 在 x = a 點
: p(x) 和 Q(x) 都解析
: 解析一詞 我搞好久 解析是指 都等於0嗎?
: 所以 都解析 = 都等於0 ??
可解析的定義是:除了a點可微分，附近的點也可微分，稱為可解析。
可解析跟可微分複變應該會講到，級數解這邊不要鑽牛角尖，只要判斷存不存在就好。
: 則稱 x = a 為 ODE 之一常點
: 常點是什麼東西 我到現在還是 無解
: 試題目都會給嗎 ?
: 例如 y(0) = 1
: 0 為 常點 所以用 泰勒級數展開 這樣嗎?
: 所以 以後看到題目給 初始條件 x = 多少
: 想也不用想 就用泰勒嗎
: 我不太了 我研究很久了@@
用例子解釋: y"+[1/(x-1)]y'+[1/(x-1)^2]y=0，其中P(x)=1/(x-1)，Q(x)=1/(x-1)^2
假設題目說要對0展開，則把0代入上式的P(x)跟Q(x)，發現P=-1，Q=1 都存在
所以0是此ODE的常點。直接用泰勒級數展開去解。
: 反之
: p(x) 和 Q(x) 至少有一不解析 則稱 x = a 唯一奇異點
: ||
: 不等於 0?
: 這裡要怎麼判斷.. 可以請大大舉個例子嗎@@
同樣用上面那個ODE來解釋。假設題目現在說要對1展開，則把1帶入P(x)跟Q(x)
會發現P無窮大，Q也是無窮大。也就是在1這個點P(x)跟Q(x)不可微分，不可微分的話必
定不可解析。(可解析的定義比可微分嚴格)
所以在這邊1是此ODE的奇異點。
: 感覺 書上題目 沒教我判斷這個
: 只教我們判斷是否為 規則奇異點 含 不規則奇異點
: 當判斷出 x = a 為奇異點
: 才能判斷是否為 規則奇異點 含 不規則奇異點
: 誕我都卡在這裡
: 接下來
: 2
: (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x)
: x = a
: 帶進去都解析(都等於0?)
: 為規則奇異點
: 如果其中一個不解析(不等於0?)
: 就是不規則奇異點
: 所以我拿到題目
: 都要先移項成
: 2
: (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x) 這樣嗎?
: 那解析應該是判斷這邊 吧
: 所以 移項後等號右邊就不用管他是嗎@@
: 判斷
: 2
: (x-a)p(x) 和 (x-a) Q(x) 這裡就好?
這邊判斷規則或不規則奇異點不是原ODE拿來移項。
繼續上面的例子:y"+[1/(x-1)]y'+[1/(x-1)^2]y=0，其中P(x)=1/(x-1)，Q(x)=1/(x-1)^2
我們已經知道1是奇異點，這時候判斷奇異點類型，就是直接把1代入(x-1)P(x)和
[(x-1)^2]Q(x)。會發現兩者皆=1，存在。所以1是此ODE的規則奇異點。
: Q(x) 一定要臭成二階 書上這樣寫@@
: 講這麼多 就是判斷題目該用 泰勒級數 還是 Frobenius 來解
: 如果有常點 就用 泰勒
: 是 規則奇異點 就用 Frobenius
: 那 不規則奇異點 可以幹麻??
不規則奇異點不能用級數解。
: 不好意思問題有點多
: 因為第三章及數解 我就只差在這裡就都搞通了
: 再來解題就是無腦解 這樣..
: 如果觀念錯誤..
: 希望有高人能指點一下..
總結一下級數解判斷流程
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
1.當題目說對a點展開，則把a帶入P(x)跟Q(x)，都存在(有值，包括0)的話為常點，用泰勒
展開解。
2.當a代入P(x)跟Q(x)有出現不存在(無窮大)情況時，為奇異點。要繼續判斷為規則或不
規則奇異點。
3.再把a代入(x-a)P(x)和[(x-a)^2]Q(x)判斷，都存在的話為規則奇異點，用Frobenius解
4.上面的判別有不存在情況時，為不規則奇異點。此時無級數解。
最後這個ODE可以練習判斷一下
(x^2)y"+y'+xy=0
1為此ODE的常點，規則或不規則奇異點? Ans:常點
0為此ODE的常點，規則或不規則奇異點? Ans:不規則奇異點
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