→ iyenn:少了z我用直角依然可以算,就是卡z.....還是謝啦 09/07 17:40
※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: 請高手算一下 定積分 x:0~L/2 y:0~L/2
: 下面方便起見 L/2=u
: dxdy
: ∫∫-------------
: (x^2+y^2+z^2)^1/2
: =∫ln{[u^2+y^2+z^2]^1/2 +u}-ln(y^2+z^2)^1/2 dy
: u+[u^2+y^2+z^2]^1/2 u y^2 /[u^2+y^2+z^2]^1/2
: =yln{--------------------}| -∫--------------------------- dy
: (y^2+z^2)^1/2 0 [u^2+y^2+z^2]^1/2 +u
: y^2 /[y^2+z^2]^1/2
: +∫--------------------------- dy
: [y^2+z^2]^1/2
: u u y^2
: =yln{上面那一團}| + ∫--------------------------- dy
: 0 (z^2+y^2)[u^2+y^2+z^2]^1/2
: =我算不下去了...
: (2u^2+z^2)^1/2 +u u
: 書上給的答案是 uln[-------------------] -ztan^-1 [---------------]
: (2u^2+z^2)^1/2 -u z(2u^2+z^2)^1/2
: 有請高手=.=a
剛剛用直角座標作一次 因為本題有一個z在那邊跑來跑去
簡直算到快瘋掉了
所以我這次積分使用的題目
一個帶均勻面電荷密度(σ) 正方形面板頂點上電位 (邊長u)
可能跟原題不一樣 但就提供一個算法
大家可試看看
其實就是少了z常數在那邊跑
如果分析題目依然是dxdy直角座標 少了z分量
我這次採用柱座標 以半徑ρ=u 掃過一個φ角
其角度為四十五度 因為這樣就掃過一個直角三角形 x2就等於一個正方形
先算三角形的電位
1 π/4 usecφ 1
電位 ψ= -----σ∫ dφ ∫ ρ(尺度因子) --- dρ
4πε 0 0 ρ(源點到場點距離)
1 π/4
ψ= -----σ∫ dφ usecφ
4πε 0
1 π/4
ψ= -----σuln{secφ+tanφ}∣
4πε 0
σ
ψ= -----uln{1+(2)^1/2}
4πε
而正方形就為 σ
ψ= 2 x -----uln{1+(2)^1/2}
4πε
提供參考。
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