※ 引述《chihhungw (嘻嘻哈哈)》之銘言：
: 1. 從負無限大積到無限大
: x^/1+x^4 dx
: 2. 從零積到無限大
: 1/1+x^3
: 3. 從零積到pi
: dx/2+cosx
: 4. 從零積到2pi
: 1+4cosx/17-8cosx dx
: 5. 從零積到2pi
: e^(cosx) cos(sin(x)) dx
: 另外一個 find all solutions of sin(z)=i
: 非常感恩阿....
我用beta函數解1.2題
∞ x^a 1
∫ -------dx = -------------- β{(a+1),m-(a+1)}
0 {x+b}^m {b^(m-(a+1))}
記的方式 β{分子次方數+1,分母次方m減掉第一項}
-----------------------------------------
b的(分母次方m減掉第一項)次方
用口述有點饒舌
when m=1時 變成
∞ x^a 1
∫ -------dx = -------------- β{(a+1),-a}
0 {x+b} {b^(-a)}
這應該就很好用了
2.
∞ 1
∫ -------dx
0 1+x^3
1
set不變量 x^3=u 所以 x=u^{1/3} dx=---u^{-2/3}du
變數變換 3
∞ (1/3)u^{-2/3} 1
=∫ -------------- du = -------β{1/3,2/3}
0 1+u 3
π
引入beta的性質 β{p,1-p}=Γ(p)Γ(1-p)= ---------
sinpπ
π π
所以β{1/3,2/3}= ------------ = --------
sin(π/3) √3/2
2π
所以原式= -------
3 √3
遇到分式型的很好用 這可以推n次方
1.我不知道分子是x還是x^2 所以都做看看好了
sol: set x^4=u x=u^(1/4) dx = (1/4)u^(-3/4)du
∞ x ∞ u^(1/4)
∫ --------dx = 2 ∫ -----------(1/4)u^(-3/4)du
-∞ 1+x^4 0 1+u
1 ∞ u^(-1/2)
= ---∫ ------------du = (1/2)β{1/2,1/2}
2 0 1+u
π
= (1/2) ----------- = (1/2)π
sin(π/2)
∞ x^2 ∞ u^(1/2)
∫ ----------dx = 2 ∫ -----------(1/4)u^(-3/4)du
-∞ 1+x^4 0 1+u
1 ∞ u^(-1/4)
= ---∫ ------------du = (1/2)β{3/4,1/4}
2 0 1+u
π
= (1/2) ----------- = (√2/2)π
sin(π/4)
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