[理工] [工數]-PDE

[hihaka2001 (hihaka)]

請問各位
小弟目前在解PDE
Utt-c^2 Uxx =f(x,t)
的問題
然後因為學到用參數變化解= =然後解到後面遇到的問題
如下
希望大家可以幫忙解決一下謝謝!!!

T''(t)+w^2 T(t)=fn(t) , n=1,2,3....
T(0)=T'(0)=0
這個ODE
有人說寫解其次解
而y=yh * fn(t)
*是摺積去解= =
然後他解出來的答案是
Tn(t)= 1/w S (0~L) fn(τ)sin w (t-τ)
請問這個是怎麼弄出來的
然後他也舉出一個例子
如下
y''+c^2 y =f(x)
先解其次解
yh''+c^2 yh=0
yh=d1coscx +d2 sin cx
其yh(0)=0 yh'(0)=1
然後可以求出yh
=-sin cx /c
然後整個解y=yh*f(x)
可是他的條件好像是要 y'(0)=1要1才成立
------------------------------------------------
本題的原題為
Utt-c^2Uxx=f(x,t)
U(0,t)=U(L,t)=0
U(x,0)=ψ0(x)
Ut(x,0)=ψ1(x)
-------------------------------------------------
u(x,t)=φ(x,t)+w(x,t)
φtt-c^2 φxx=f(x,t)
φ(0,t)=φ(L,t)=0
φ(x,0)=0
φt(t,0)=0

wtt-c^2 wxx=0
w(0,t)=w(L,t)=0
w(x,0)=ψ0(x)
wt(x.0)=ψ1(x)
-------------------------------------------
我把講義的寫法打上來如下
φ(x,t)=sigma  Tn(t) sin (n*pi*x/L)
帶入方程式1
sigma [ T''-(cw)^2 T] sin (n*pi*x/L)=f(x,t)
然後用傅立葉級數
T''-(cw)^2 T = 2/L ∫(0~L)[ f(x,t)sin (n*pi*x/L)]
T''-(cw)^2 T = f(x,t)
w=n*pi/L
然後接下來就是
T(0)=T'(0)=0
然後這裡就出問題了==

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.147.18.55
推 bdaman123:高成這部份適用拉式解 不過我不推薦 最好用逆運算子
→ hihaka2001:甚麼意思 逆運算子怎麼解
推 squallting:用逆運算子解本題答案為
→ squallting:Tn(t)=C1ncos(wt)+C2nsin(wt)+fn(t)/D^2+w^2   D是微分
→ hihaka2001:可適用T(0)=T'(0)=0好像解出來的解會是沒有的==
推 squallting:應該沒有這種初始條件吧 至少其中一個非0才會有解
→ squallting:以本題來講 波動方程 初始位移0 初速0 那不全都0了嗎@@
→ hihaka2001:董擬議斯
→ hihaka2001:fn(t)/D^2+w^2 那請問這項該怎麼處理啊
推 squallting:要看題目怎麼給fn(t)決定 如果是指數函數 三角函數的話
→ squallting:你應該會了吧? 如果是任意函數 那就寫那樣就可以了
→ hihaka2001:所以他給的答案為什麼會有折積的樣子??
※ 編輯: hihaka2001      來自: 122.147.18.55        (09/11 12:49)
推 squallting:我在上面那一篇的推文有解釋了 你可以看看
→ squallting:基本上不同做法的答案都會不一樣 按照自己熟的就可以了
→ hihaka2001:董謝謝你啊
→ hihaka2001:那可以請問你嗎他這樣的邊界應該弄出來會有一個方程式
→ hihaka2001:的邊界會全部都是0的
推 squallting:所以本題的有初位移 初速  那你上面那邊分解錯誤了
→ squallting:看不懂你問的@@
※ 編輯: hihaka2001      來自: 122.147.18.55        (09/11 12:59)
※ 編輯: hihaka2001      來自: 122.147.18.55        (09/11 12:59)
→ hihaka2001:我想在請問一下 在拆方程式的時候 那個f(x,t)要擺那個
→ hihaka2001:方程式會比較好 要怎麼看
推 squallting:本題不能拆方程式  不能拆的原因是非齊次向f(x,t)是雙
→ squallting:變數函數 怎麼拆都拆不成PDE+ODE  只能用特徵函數展開
→ squallting:拆方程式的原因是因為非齊次項是常數或x的單變數函數
→ squallting:才行的通
→ hihaka2001:那我弄出的T'(0)=T(0)=0有錯嗎??
推 squallting:有 要先找出Tn(t) 再找出U(x,t) 最後再帶U(x,0)=ψ0(x)
→ squallting:Ut(x,0)=ψ1(x) 找出C1,C2後 就是最後的解了
→ squallting:而不是先找出Tn(t) 把你拆到的怪怪初始條件帶入@@
※ 編輯: hihaka2001      來自: 122.147.18.55        (09/11 13:22)