→ doom8199:補充一下，一開始那大段是在教如何去推導積分區間 09/13 01:57
→ doom8199:若夠熟練，計算過程就是從 V = ∫∫∫ 1 dxdydz 那開始 09/13 01:58
→ kwei1027:感謝妳 09/13 22:38
※ 引述《kwei1027 (╮(﹋﹏﹌)╭)》之銘言：
: 請問一下
: 這個體積怎麼算= =
: region bounded within by
: z= 根號(4 - x^2 -y^2 )
: x^2 + y^2 = 3 z=0
: 謝謝了
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set x = rsinθcosψ
y = rsinθsinψ
z = rcosθ
region <1>:
(rsinθcosψ)^2 + (rsinθsinψ)^2 ≦ 3
→ (rsinθ)^2 ≦ 3
→ 0 ≦ r ≦ √3/sinθ
region <2>:
2
r ≦ 4 and rcosθ≧ 0
→ 0 ≦ r ≦ 2 、 cosθ≧ 0
combine <1> <2> :
0 ≦ r ≦ min{ 2,√3/sinθ} 、 0≦θ≦π/2
C:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ min{ 2,√3/sinθ} 、 0≦θ≦π/2 、 0≦ψ<2π }
partition:
C1:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ 2 、 0≦θ≦π/3 、 0≦ψ<2π }
C2:{(r,θ,ψ) | 0 ≦ r ≦ √3/sinθ 、 π/3≦θ≦π/2 、 0≦ψ<2π }
notice that C = C1+C2
then V = ∫∫∫ 1 dxdydz
C
2
= ∫∫∫ r sinθ drdθdψ
C
2π π/3 2 2 2π π/2 √3/sinθ 2
= ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ + ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ
0 0 0 0 π/3 0
= V1 + V2
<1>
2π π/3 2 2
V1 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ
0 0 0
2π π/3 2 2
= ∫ dψ * ∫ sinθ dθ * ∫ r dr
0 0 0
= (2π)*(1/2)*(8/3)
8π
= ____
3
<2>
2π π/2 √3/sinθ 2
V2 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ
0 π/3 0
2π π/2 2
= ∫ ∫ √3*csc θ dθdψ
0 π/3
2π
= ∫ -√3*[cot(π/2)-cot(π/3)] dψ
0
= 2π
由 <1> <2> 知 V = V1 + V2 = 14π/3
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當然也能切割成兩部份:
V3: x^2+y^2=3 、 0≦z≦1 的圓柱
V4: x^2+y^2+z^2=4 、 1≦z≦2 的體積
其中 V3 = π(√3)^2 * 1 = 3π 利用圓柱體積公式
2π π/3 2 2
V4 = ∫ ∫ ∫ r sinθ drdθdψ
0 0 1/cosθ
答案應該都一樣
不過若遇到不規則曲面或是我們不熟析的曲面
還是只能像一開始那樣慢慢算積分
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◆ From: 140.113.141.151