推 hanabiz:這個函數好像在機率論裡面有看過 09/13 16:04
→ hanabiz:請問主要是應用在哪個領域啊？ 09/13 16:04
→ doom8199:不太確定OTZ 我所知的就是訊號轉換的頻譜分析 09/13 16:12
※ 引述《hutiger (我不是神經病)》之銘言：
: 請問一下大家 為何 δ(0)=0
: 以 delta的圖形來看 at 0 這一點不是應該是 ∞ ??
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回一下好了，順便賺 P 幣XD
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我個人淺見是
討論 δ(x) 在 x=0 上是沒意義的
隨便舉一個例子：
f(x) = 1/x
這時會發現，當 x=0 ， f(x) 會沒有定義
我們口頭上會說: 當 x=0， f(x)= 正負無窮大
但若把 "口頭用語" 寫成 "數學語言":
when x=0 ， f(x) = ±∞
對數學家來說，是不承認這句話
因為他們還有一套更好的描述方法:
lim f(x) = ∞ and lim f(x) = -∞
x→0+ x→0-
也就是說
當遇到無窮大或是沒定義的 case
數學家是選擇 "避開此case" ，而非"討論它"
由 lim 的定義，我想可以很明顯驗證上面那句話
也就是 lim 這工具
其實就是專門在避開未定義的點
而只討論該點的 "鄰域" ，其變化趨勢為何
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有了這概念
來看 δ(x) 是如何被定義出來：
u_ε(x) = ┌ 1/ε if 0≦x＜ε
└ 0 otherwise
δ(x) ≡ lim u_ε(x)
ε→0
先看一下 u_ε(x) 這個函數的圖形：
y
︿
｜
｜
y=1/ε ‧-------。
｜
｜
----------。-------‧---------> x
x=0 x=ε
有注意到嗎똊
在 x=0 與 x=ε 上
分別是 u_ε(0)=1/ε and u_ε(ε)=0
若你把 x=ε 這個點一直往左邊靠近 (縮小ε)
越近越好 ( for all ε>0 )
只要別讓 ε=0 就可以 ( 0<|x|<ε)
其結果就是δ(x)的圖形 ( for all N>0, such that δ(x)>N )
後面括號其實是套用 lim 的定義
只是口語化說明就是用黃色字標示出來的那幾段文字
因此由定義不難證明以下兩個式子：
<1> lim δ(x) = 0
x→0-
<2> lim δ(x) = ∞
x→0+
還有在工數上一定會看到的一個性質：
∞
∫ δ(x) dx = 1
0
這個式子也能被證明，只要有辦法說明：
∞ ∞ ? ∞
∫ δ(x) dx = ∫ lim u_ε(x) dx = lim ∫ u_ε(x) dx = lim 1 = 1
0 0 ε→0 ｜ε→0 0 ε→0
↓
why ?
都提到這
也順便說明一下為何 δ(x) = u'(x) ( u(x): unit step function )
δ(x) ≡ lim u_ε(x)
ε→0
u(x) - u(x-ε)
= lim ______________ (let k=x-ε )
ε→0 ε
≡ u'(k) for k= lim (x-ε) = x
ε→0
= u'(x)
-------- end ---------
所以關於原po 問的
我想應該是 lim δ(x) = 0
x→0-
而非 δ(0) = 0
理由就是我一開始說的
"數學家從頭到尾避開 x=0 不談"
不過
你要自己定義 δ(0)=0 or 1 or 0.0001 or....
都可以
但若自己定義 δ(0) 為多少
是否以前所學的 δ(x) 性質也會改變呢 ?
答案是不會改變
因為 "所有性質都是以 lim 為出發點"
也就是 "只考慮 x=0 的鄰域 0<|x|， 而不考慮 x=0 本身"
這就好比像 unit step fun. u(x)
有些領域會定義:
u(x) = ┌ 0 if x＜0
└ 1 if x≧0
但有些領域 (例如 訊號與系統) 就會定義:
u(x) = ┌ 0 if x＜0
｜ 1/2 if x=0
└ 1 if x＞0
原因都是差不多的
也就是 u(x) 在 x=0 是不連續點
但為何要去定義 u(0)=1/2 ?
我想應該是為了要配合 Fourier series expansion 在不連續點展開的性質：
f(t+) + f(t-)
FS{f(t)} = _____________ if f(x) is discontinuous at x=t
2
算是題外話～～
不過我在工程領域上好像還沒看過哪些地方會定義 δ(0)=0 ＝＝a
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