Re: [理工] [工數]-脈衝函數

[itsforte ( )]

>　　因此由定義不難證明以下兩個式子：
>    <1>  lim  δ(x) = 0
>        x→0-
>    <2>  lim  δ(x) = ∞
>        x→0+


 這點我覺得怪怪的

 Fourier series/transform  收斂的條件是只要函數性質不比片段連續差

 範圍在-∞~∞ 就可以確定函數幾乎到處都相等(almost everywhere)

 再不連續點x0會有 F[f(x0)] = (f(x0+)+f(x0-))/2

 而傅立業的特性: 保持函數的奇偶性

 而 F[δ(x)] = 1 是偶函數

 => δ(x)| x→0- = δ(x)| x→0+


>    所以關於原po 問的
>　　我想應該是     lim  δ(x) = 0
>                  x→0-
>    而非 δ(0) = 0
>　　理由就是我一開始說的
>　　"數學家從頭到尾避開 x=0 不談"

>　　不過
>　　你要自己定義  δ(0)=0  or  1   or 0.0001  or....
>    都可以
>　　但若自己定義 δ(0) 為多少
>　　是否以前所學的 δ(x) 性質也會改變呢 ?
>    答案是不會改變
>　　因為 "所有性質都是以 lim 為出發點"
>    也就是 "只考慮 x=0 的鄰域 0<|x|， 而不考慮 x=0 本身"

>　　這就好比像 unit step fun.  u(x)
>    有些領域會定義:
>    u(x) = ┌ 0      if  x＜0
>　　　　　 └ 1      if  x≧0

>    但有些領域 (例如 訊號與系統) 就會定義:
>    u(x) = ┌ 0      if  x＜0
>           ｜ 1/2    if  x=0
>　　　　　 └ 1      if  x＞0

    由∫δ(x)dx = u(x) 這點亦可導出:

    ∫-∞~0 δ(x)dx = u(x) | -∞~0 = 0.5-0 = 0.5
    ∫0~∞  δ(x)dx = u(x) | 0~∞  = 1-0.5 = 0.5

    與δ(x)為偶函數的特質不謀而合



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◆ From: 140.113.139.124
→ doom8199:你最後那個推論很怪，積分的上下限是看 "開區間"
→ doom8199:而非閉區間，所以那個-∞~0 的 0，你要用 0- 逼近
→ doom8199:而不是直接帶 u(0) 下去算
→ doom8199:例如我假設 f(x) = ln(x)  if x>0      =0   if x<=0
→ doom8199:假設要算這個積分:  ∫<0,1> 1/x dx= ln(x) | x=<0,1>
→ doom8199:若照你那樣帶，不就變成 ln(1)-ln(0) = 0 - 0 = 0
→ doom8199:可是 1/x 在 <0,1> 與x軸圍成的面積 明明就是正值
→ doom8199:只因為定義 "一個點" 就改變積分值
→ itsforte:我想我知道你意思了 只是δ(x)為偶函數
→ itsforte:與你舉的例子不太相同