推 mdpming:感謝你~~ 09/13 17:04
推 mdpming:看來我第一題真的算錯了@@ 09/13 17:04
※ 編輯: youmehim 來自: 218.173.131.50 (06/17 17:37)
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: 1.
: 2 2
: x y'' + 6xy' + (6-x )y = 0 用 Frobenius 級數解..
: 答案是
: -3 -3
: y = c1 x sinhx + c2 x coshx
: 可是我算是
: -2 -3
: y = c1 x sinx + c2 x cosx
: 有人可以幫我驗證一下嗎
2 2
x y" + 6xy' + (6 - x )y = 0
∞ r+n ∞ r+n-1 ∞ r+n-2
Let y = ΣCn x , y' = ΣCn(r+n)x , y" = ΣCn(r+n)(r+n-1)x
n=0 n=0 n=0
代入得
∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n+2
ΣCn(r+n)(r+n-1)x + Σ6Cn(r+n)x + Σ6Cn x - ΣCn x = 0
n=0 n=0 n=0 n=0
整理後得
∞ r+n ∞ r+n
ΣCn[(r+n)(r+n-1)+6(r+n)+6]x - ΣCn-2 x = 0
n=0 n=2
當n=0:
2
C0(r +5r+6) = C0(r+2)(r+3) = 0 , 若C0≠0 , 得 r = -3 or -2
當n=1:
2
C1(r +7r+12) = C1(r+3)(r+4) = 0 , 若C1≠0 , 得 r = -4 or -3
二階ODE的通解應有兩個待定係數(C0≠0 , C1≠0)
故取r解的交集可得r=-3
當n≧2:(r=-3代入)
1 1 1
Cn = --------------------- Cn-2 = ------- Cn-2 = -------- Cn-2
(n-3)(n-4)+6(n-3)+6 2 n(n-1)
n - n
1
= --- C0
n!
∞ r+n
代入 y = ΣCn x 可得
n=0
-3 ∞ 1 n ∞ 1 n
y = x ( Σ C1 --- x + Σ C0 --- x )
n=1,3… n! n=2,4… n!
答案寫這樣就行了
-3
要寫成 y = x ( C1 sinhx + C0 coshx )
也可以
: 如果考試 不轉換成 sinx cosx 之類的 會被扣分嗎..
主要就是說除非題目明講只要寫前幾項就好
不然冪級數的係數若有規律就要歸納
歸納之後有些就是常見函數的展開式 就可以順便把他換掉啦
不過換不換都是可以的
: 2.
: 2 2
: x y'' + x y' - 2y = 0
: 這題 過程有問題
: r=-1
: r= 2
: -(n+r-1) C
: Cn = ----------------- n-1
: [(n+r)(n+r-1)-2]
: -r
: C1 = ---------- C0
: (r+2)(r-1)
: (r+1)
: C2 = ----------------- C0
: (r+3)(r+2)(r-1)
: -1 (r+1)
: C3 = --------------------- C0
: (r+4)(r+3)(r-1)(r+1)
: 當用-1 帶入
: C3 (r+1) 我銷掉後 答案會不一樣..
: 因為 C3 = 芭拉巴拉 * C2
: 但是C2 = 0
因為r = -1 or 2
所以 r= -1 代入算到第 2-(-1) = 3 項 也就是C2時 會等於0
-(n+r-1)
事實上在列 Cn = ------------------ Cn-1 時
[(n+r)(n+r-1)-2]
有個前提就是分母≠0
假如不用除的 而是直接列出來的話
[(n-1)(n-2)-2]Cn = -(n-2)Cn-1
當n=2
-2 C2 = 0 C1 = 0
當n=3
0 C3 = C2 = 0
表示說C3是任意數 從C3之後就是一個跟前段無關的解
再繼續代下去就可以得到另一個有待定係數(C3)的解了
: 所以之後都 = 0
: 但是銷掉 (r+1) 就不會等於0 答案也就不一樣
: 這時候怎麼辦..?
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