※ 引述《youmehim (哩挖伊)》之銘言：
: ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: : 1.
: : 2 2
: : x y'' + 6xy' + (6-x )y = 0 用 Frobenius 級數解..
: : 答案是
: : -3 -3
: : y = c1 x sinhx + c2 x coshx
: : 可是我算是
: : -2 -3
: : y = c1 x sinx + c2 x cosx
: : 有人可以幫我驗證一下嗎
: 2 2
: x y" + 6xy' + (6 - x )y = 0
: ∞ r+n ∞ r+n-1 ∞ r+n-2
: Let y = ΣCn x , y' = ΣCn(r+n)x , y" = ΣCn(r+n)(r+n-1)x
: n=0 n=0 n=0
: 代入得
: ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n+2
: ΣCn(r+n)(r+n-1)x + Σ6Cn(r+n)x + Σ6Cn x - ΣCn x = 0
: n=0 n=0 n=0 n=0
: 整理後得
: ∞ r+n ∞ r+n
: ΣCn[(r+n)(r+n-1)+6(r+n)+6]x - ΣCn-2 x = 0
: n=0 n=2
: 當n=0:
: 2
: C0(r +5r+6) = C0(r+2)(r+3) = 0 , 若C0≠0 , 得 r = -3 or -2
: 當n=1:
: 2
: C1(r +7r+12) = C1(r+3)(r+4) = 0 , 若C1≠0 , 得 r = -4 or -3
: 二階ODE的通解應有兩個待定係數(C0≠0 , C1≠0)
: 故取r解的交集可得r=-3
: 當n≧2:(r=-3代入)
原來我這一題錯在這裡
如通常題目都只要帶到 n=0 但是 有些要帶到 n=1
這題就是
我看書上解法式 n=1 那邊
取 C1=0
因為加起來要0
但是我剛剛要再看一次書本上的
再和這題比較
這題因為
n=0 和 n=1
都有一解 r=-3
所以取交集嗎
因為書上 n=0 n=1
的解 剛好都沒重複
所以 C1 = 0
我算這麼多題 都這樣 只有這題例外 真的學到東西了
但是還是有一點點不懂 就像上面所說的@@
: 1 1 1
: Cn = --------------------- Cn-2 = ------- Cn-2 = -------- Cn-2
: (n-3)(n-4)+6(n-3)+6 2 n(n-1)
: n - n
: 1
: = --- C0
: n!
: ∞ r+n
: 代入 y = ΣCn x 可得
: n=0
: -3 ∞ 1 n ∞ 1 n
: y = x ( Σ C1 --- x + Σ C0 --- x )
: n=1,3… n! n=2,4… n!
: 答案寫這樣就行了
: -3
: 要寫成 y = x ( C1 sinhx + C0 coshx )
: 也可以
: : 如果考試 不轉換成 sinx cosx 之類的 會被扣分嗎..
: 主要就是說除非題目明講只要寫前幾項就好
: 不然冪級數的係數若有規律就要歸納
: 歸納之後有些就是常見函數的展開式 就可以順便把他換掉啦
: 不過換不換都是可以的
: : 2.
: : 2 2
: : x y'' + x y' - 2y = 0
: : 這題 過程有問題
: : r=-1
: : r= 2
: : -(n+r-1) C
: : Cn = ----------------- n-1
: : [(n+r)(n+r-1)-2]
: : -r
: : C1 = ---------- C0
: : (r+2)(r-1)
: : (r+1)
: : C2 = ----------------- C0
: : (r+3)(r+2)(r-1)
: : -1 (r+1)
: : C3 = --------------------- C0
: : (r+4)(r+3)(r-1)(r+1)
: : 當用-1 帶入
: : C3 (r+1) 我銷掉後 答案會不一樣..
: : 因為 C3 = 芭拉巴拉 * C2
: : 但是C2 = 0
: 因為r = -1 or 2
: 所以 r= -1 代入算到第 2-(-1) = 3 項 也就是C2時 會等於0
: -(n+r-1)
: 事實上在列 Cn = ------------------ Cn-1 時
: [(n+r)(n+r-1)-2]
: 有個前提就是分母≠0
: 假如不用除的 而是直接列出來的話
: [(n-1)(n-2)-2]Cn = -(n-2)Cn-1
: 當n=2
: -2 C2 = 0 C1 = 0
: 當n=3
: 0 C3 = C2 = 0
: 表示說C3是任意數 從C3之後就是一個跟前段無關的解
: 再繼續代下去就可以得到另一個有待定係數(C3)的解了
: : 所以之後都 = 0
: : 但是銷掉 (r+1) 就不會等於0 答案也就不一樣
: : 這時候怎麼辦..?
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◆ From: 114.32.91.86
※ 編輯: mdpming 來自: 114.32.91.86 (09/13 17:17)
※ 編輯: mdpming 來自: 114.32.91.86 (09/13 17:20)