[理工] [線代]-正負定

[delta1116 (疊歐塔<(￣︶￣)/)]

一題證明題

                        T
A為n*n矩陣  A可逆 <==> A  A 為正定


證明如下


A為可逆  故N(A) = {0}

       T  T                         n
令f = X (A  A) X   對於所有 X 屬於 R     X =\= 0

                2
可得f = || AX ||


因為 X 不屬於 N(A)


即 AX =\= 0

               2                   T
故 f = || AX ||  > 0  f為正定  得 A A 為正定

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以上是解答寫的


我現在的問題是

                                T
題目不是應該要從"A可逆" 推到 " A A "為正定嗎


既然A可逆


那 X 不就應該要是0  ( 因為N(A) = {0} )


可是中間的 X 又不能等於0


這兩者不就矛盾了嗎


想了好久還是想不通


希望有人可以說明一下

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◆ From: 61.59.238.228
→ yesa315:你自己有寫了 對於所有 X 屬於 R  X =\= 0  即x不屬於N(A)
→ yesa315:就是不是0
→ yesa315:通常來判別正定的時候 是討論當X=\=0 時 卻有>0的情況
→ delta1116:可是題目的前提是"A可逆"阿 AX=0 => X=0?
→ yesa315:你那個可逆只零解 跟這個x=\=0來作正定 是兩碼事...
→ yesa315:我覺得你誤解了變數的意思 我今天也可以挑 y z w來做A是正
→ yesa315:定的判斷 只要y z w不是0就可以作正定判斷
→ delta1116:意思是說我可以令f = y^T(A^T A)y 這樣嗎?
→ delta1116:可是這麼一來就純粹只是在判斷f是否正定
→ delta1116:跟"A可逆"這個條件好像沒什麼相干耶
→ delta1116:所以我打從一開始就覺得這個解法怪怪的
→ delta1116:可是偏偏課本跟老師都這樣寫= =?
→ yesa315:A要可逆 A^TA才會正定
→ yesa315:你少打了解法了 漏打了重要東西
→ delta1116:咦?我照筆記打的耶..是什麼呢?可以麻煩告知一下嗎?