推 delta1116:不錯的想法~感恩 09/24 20:43
推 yesa315:滿特別的 推一個 09/24 20:47
※ 引述《delta1116 (疊歐塔<(￣︶￣)/)》之銘言：
: 一題證明題
: T
: A為n*n矩陣 A可逆 <==> A A 為正定
: 證明如下
: A為可逆 故N(A) = {0}
: T T n
: 令f = X (A A) X 對於所有 X 屬於 R X =\= 0
: 2
: 可得f = || AX ||
: 因為 X 不屬於 N(A)
: 即 AX =\= 0
: 2 T
: 故 f = || AX || > 0 f為正定 得 A A 為正定
: ----------------------------------------------
: 以上是解答寫的
: 我現在的問題是
: T
: 題目不是應該要從"A可逆" 推到 " A A "為正定嗎
: 既然A可逆
: 那 X 不就應該要是0 ( 因為N(A) = {0} )
: 可是中間的 X 又不能等於0
: 這兩者不就矛盾了嗎
: 想了好久還是想不通
: 希望有人可以說明一下
1.由A^-1出發
已經A^-1存在 故 A不存在0特徵值
令Ax=λx λ為A之特徵值(亦為A^T之特徵)
則A^TAx=A^Tλx=λ^2x
可知A^TA之特徵恆正
2.由A^TA正定出發
A^TA正定故所有特徵值>0
即det(A^TA)=/=0
A可逆
我會這樣想耶 0,0
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