※ 引述《delta1116 (疊歐塔<(￣︶￣)/)》之銘言：
: 一題證明題
: T
: A為n*n矩陣 A可逆 <==> A A 為正定
: 證明如下
: A為可逆 故N(A) = {0}
: T T n
: 令f = X (A A) X 對於所有 X 屬於 R X =\= 0
: 2
: 可得f = || AX ||
: 因為 X 不屬於 N(A)
: 即 AX =\= 0
: 2 T
: 故 f = || AX || > 0 f為正定 得 A A 為正定
: ----------------------------------------------
y大解釋的很清楚了
我試著說明白一點
你不懂的是A可逆的作用在哪對吧
如果不需要A可逆 你試著再看一次証明
2
在 f = ||AX|| 這個地方 因為你必須要得到 f > 0
才能得到 正定 的結論
要是 ||AX|| 不等於0 那自然沒問題 但是等於0該怎麼辦呢
這時後就會用到題目給的A可逆了 因為A可逆
所以對於X不等於0來說 AX必然不等於0
" 因為A可逆 => Ker(A) = {0} "
而在前面我們已經要求了 X 都不等於0
所以這樣的X就不會落在 Ker(A)裡面 (因為Ker(A)是零空間)
舉個例子來看 A= [1 1] 顯然這樣的A是不可逆
[2 2]
而且我取X=[ 1] 這樣一來 AX = 0
[-1]
從這部份來看就大概能夠知道為什麼A要可逆
重點就是在 所需求的X是不能在Ker(A)裡面
不知道這樣解釋的清楚嗎 XD
: 以上是解答寫的
: 我現在的問題是
: T
: 題目不是應該要從"A可逆" 推到 " A A "為正定嗎
: 既然A可逆
: 那 X 不就應該要是0 ( 因為N(A) = {0} )
: 可是中間的 X 又不能等於0
: 這兩者不就矛盾了嗎
: 想了好久還是想不通
: 希望有人可以說明一下
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