Re: [理工] [工數]-ODE

[becomesonumb (貓太)]

※ 引述《wellilin (QQ123)》之銘言：
: y'={2(xy^1/2)-y}/x
: ans= y^1/2=x^1/2{1-(1/cx)}
: 解不出來 = =...幫幫忙

xy'+y=2(xy)^(1/2)

除以x得到
    1
y'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
    x

就變成了Bernoulli方程式
           1        1
令z=y^(1- ---) =y^(---)
           2        2

        1
則 z'= ---y(-1/2)y'   得到y'=2y^(1/2)z'
        2

帶回後來的Bernoulli方程式

得到
                1
    2y^(1/2)z'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
                x


同時除以 y^(1/2)並且讓z'前面沒有係數

得到
         1   1
    z'+ --- --- z = x^(-1/2)
         2   x

成為了一階線性ODE的樣子,公式解下去


            1   1
      P(x)=--- ---        Q(x)=x^(-1/2)
            2   x

                 1   1
      I(x)=exp∫--- ---dx = x^(1/2)
                 2   x

             1
      z(x)= ---[∫IQdx] = x^(-1/2)[∫x^(1/2)x^(-1/2)dx]
             I

                        = x^(-1/2)[∫1dx]

                        = x^(-1/2)(x+c)

                        = x^(1/2) + cx^(-1/2)

把z(x)=y^(1/2)代回得到


               y^(1/2) = x^(1/2) + cx^(-1/2)

答案差在常數c而已

所以我這樣應該也是對的吧 ?!

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老師：小時候我對老師罵髒話，老師原諒了我，我覺得很開心

同學Ａ：老師我可以罵你嗎？我忍很久了

http://www.wretch.cc/blog/becomesonumb

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.100.107.74
推 hsuan0425:我算結果跟你一樣
→ becomesonumb:不過yimao的解法還蠻快的說
推 yimao:獻醜了...其實我一開始是想到齊次..但是算到卡住了..哈哈= =
推 hsuan0425:y大那個算法蠻簡單的  沒注意到  哈哈
推 hihaka2001:那招式grouping method 本來就會比較快
推 sean456:合併法這題比較快 可是未必全部都會比較快