推 jamie7724:補充的故事跟老喻講的好像XD 10/10 01:14
推 mdpming:真仔細QQ 10/10 10:22
推 Frobenius:推好文 05/04 22:27
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: 1.
: 2 2 1
: t z'' + tz' + (t - ---)z = 0
4
這到寫出Bessel通解不難，
你可以寫出J.Y的解 也就是第一類bessel函數與第二類bessel函數
但如果你要尻成sin cos的樣子
就必須用第一類bessel單一寫出
補充：當年Bessel解Bessel eq的時候，只解了大根就坐船跑了，
（大家試看看帶大根進去解看看，解第二類太難）
當時他只解了第一類bessel 而第一類bessel的階數是整數的時候有問題
因為這樣不能寫成兩個線性獨立的解
於是後來Neumann就幫忙解了第二類後來就稱為Y or N
所以你可以寫出
z= c1 J (t)+ c2 J (t)
1/2 -1/2
根據某年交大光電的考題
我先把結論寫上來 我這邊習慣寫x 大家知道是t就好
J (x) = (2/πx)^1/2 sinx
1/2
J (x) = (2/πx)^1/2 cosx
-1/2
數學：大家可以把第一類bessel的震動想成是 sinx cosx 具有衰減的震幅
而且Jν(X)在0處是finite 這邊在解邊界值問題很好用，
你就知道為什麼常常沒看到Y 因為它在0時是-infinite
接下來要解這個必須要背J的定義才可以
J (x)= sum(n=0到無限大) （-1)^n (x/2)^(2n+1/2) / n!Γ(n+1+1/2)
1/2
接下來有點難打
所以我提供怎麼湊就好
因為真的有點難打 請大家見諒
step1
由於你要證明的答案有 根號2 所以你上下同乘 (2)^1/2 (x)^1/2
你把分子的根號2放出去 分母的根號x也給他放出去 留下只有分母的根號2跟分子的x
step2
分母的Γ(n+3/2)寫成Γ((2n+3)/2) 然後把Γ打開吧
Γ((2n+3)/2)= (2n+1)/2 * (2n-1)/2 * .......* 1/2 Γ(1/2)
從1/2數到 (2n+1)/2 總共有 n+1項
然後Γ(1/2)=(π)^1/2
step3
分子還記不記得有個(x/2)^(2n+1/2) 跟 step1 留下的(x/2)^1/2
合成為(x/2)^(2n+1)
你把x與1/2個別放在分子跟分母
於是分母就有個 2^(2n+1) 帥吧 總共有2n+1個2
你可以拆成兩份 一份給剛剛Γ弄出來的那堆東西 拆給他們n+1項
等於剛剛那個(2n+1)/2 * (2n-1)/2 * .......* 1/2變成 (2n+1)(2n-1)(2n-3)...1
剩下n個2就給分母的n!就變成 2n (2n-2)(2n-4).....2
整個分母就湊完了 該收尾了
step4
分母：
剛剛分母那一堆東西就可以變成(2n+1)!Γ(1/2)
將Γ(1/2)=(π)^1/2 弄出去吧
分子：
分子留下(-1)^2 還有x^(2n+1)
sum裡面有沒有看到熟悉的sinx 的maclaurin級數的長相
sun外面有step1留下的東西
所以J (x)= (2/πx)^1/2 sinx
1/2
J (x)的作法一樣 你也是差不多的方式湊一湊就可以尻出cosx出來
-1/2
tip:如果你有背cosx與sinx的Maclaurin級數 中間就可以拉一喇 方便你更容易弄出來
回到原題 大家記得變數是t
於是
z= c1 (2/πt)^1/2 sint + c2 2/πt)^1/2 cost
有常數(2/π)^1/2與c1合成為=c1* (2/π)^1/2與c2合成為=c2*
所以 z= c1* (1/t)^1/2 sint +c2* (1/t)^1/2 cost
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