推 AAzxc:正確無誤~~只是積分的步驟跳太快~ 我有看沒有懂~"~ 10/12 13:17
※ 引述《AAzxc (屎名)》之銘言：
: 已知 y1=x 為(1-x^2)y"-2xy'+2y=0之一解 求另一解
: 我算到 x"積分符號" x^-2乘(1-x^2)^-1 dx
: 這裡我就不會解了~"~
: 請求大家幫忙
: 感謝^^
y'' + p y' + q y = 0
令 y = u v
則 y' = u'v + u v'
y'' = u''v + 2 u' v' + u v''
帶入 ODE 得
u''v + 2 u' v' + u v'' + p ( u' v + u v') + q (u v) = 0
整理之後 可得
u v'' + ( 2 u' + p u ) v' + ( u'' + p u' + q u ) v = 0
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ << 跟原 ODE 很像
假設 u 是其中一解 則那一項 = 0
則可以把上式改寫
2 u' + p u
v'' + ------------- v' = 0
u
令 p = v'
則可以改寫
2 u' + p u
p' + ------------- p = 0
u
變成 一階 線性 ODE
2 u' + p u
S --------------- dx
u
I = e
1 C
p = --- S I * (0) dx + -----
I I
v = S p dx
---------------------------------------------------
或者
2 u' + p u
v'' + (--------------) v' = 0
u
''
v 2 u'
----- + ------ + p = 0
v' u
直接積分 ln v' + 2 ln u + S p dx = c
2 S -p dx
v'u = c1 e
S -p dx
c1 e
v' = ----------------
2
u
S -p dx
C1 e
v = S ----------------- dx + c2
2
u
帶入 y = uv
S -p dx
e
y = c1 x S ----------------- dx + c2 x
2
u
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~
這項 是另一獨立解的公式 已知獨立解
答案套入
2x
- S -------- dx
2
x - 1 1
e = ------------
2
x - 1
1
y2 = x S -------------- dx
2 2
x ( x - 1 )
1 1 x + 1
y2 = x (----- - ----ln ------- )
x 2 x - 1
通解 y = y1 + y2
有誤請指點一下
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