Re: [理工] [工數]-一階ODE

[iyenn (曉風)]

※ 引述《doom8199 (～口卡口卡　修～)》之銘言：
:       3 2          2
:     (x y - 1)dx + x dy = 0
:     題目看起來短短的
:     可是我試過很多方法都解不太出來 QQ
:     這個 ODE 是我在算一個東西的時候化簡得到的
:     所以手邊沒答案
:     麻煩大家了 > <


     3 2          2
   (x y - 1)dx + x dy = 0


   y'=-xy^2+x^-2


let y=p'/(px)


   y'=p''(xp)^-1 - p'^2p^-2x^-1 - p'p^-1x^-2

     =-p'^2p^-2x^-1+x^-2

  =>p''-p'x^-1=x^-1p

  =>x^2p''-xp'-xp=0


let t=x^1/2

    dp  dp  dt   1          dp
    --= --- ---=---x^-(1/2)----
    dx  dt  dx   2          dt

    d^2p  -x^-(3/2)  dp      x^-1  d^2p
    ----=---------- ---- + ------ ----
    dx^2     4       dt       4    dt^2

=>

 -t  dp       t^2  d^2p     t  dp
---- ---- + ------ ----  - --- --- -t^2p =0
 4   dt        4   dt^2     2  dt

   d^2p      dp
t^2---- - 3t---- -4t^2p=0
   dt^2      dt


let p=vt^2
    p`=v`t^2+2tv
    p``=v``t^2+4tv`+2v



t^2(v``t^2+4tv`+2v)-3t(v`t^2+2tv)-4t^2(vt^2)=0

t^2v``+(4t-3t)(v`)-(6-2+4t^2)v=0

t^2v``+tv`-(4t^2+4)v=0 , modified bessel eq.

v=AI (2t)+BK (2t)
    2      2

p=x(AI (2x^1/2)+BK (2x^1/2))
      2           2

y=p'/(px)



我算不下去了orz........









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為者常成.行者常至

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◆ From: 123.193.214.165
推 CRAZYAWIND:我看到一半頭就暈了= =
推 shinyhaung:哈哈 我也是想到2階ODE y不出現的型式 可是偷懶沒算XD
→ iyenn:原積分應該是用bessel的解去代換,在用積分式積,我猜0,0
→ iyenn:不過要查一下母函數跟原積分有無同之處才知道..-,-
推 fonlintw0621:請問 為什麼 y 要這樣令..
→ fonlintw0621:沒算過 昇階.....
→ iyenn:http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation
推 fonlintw0621:恩感謝..原來是 另一種解法....
推 doom8199:那個 ODE 我正是由2階ODE降到 1階Ricaati eq.  = =a
→ iyenn:XDD
→ iyenn:doom大不早說-,-"
→ doom8199:因為我沒有背 Bessel 那些無窮級數 QQ , 所以才這樣轉
→ iyenn:我也沒背-,-y
→ wade0222:原來這題這麼難= =
推 doom8199:還是能幫我解一下  xp''-p'-p=0  with  p(0)=p'(0)=0
→ doom8199:有加初始條件QQ ， 當初轉的時候是變成此型態
→ iyenn:這可以化bessel吧
→ iyenn:過上面有解到這部份,在帶初值看看XD
→ doom8199:看來改天要找時間唸一下ode無窮級數解,完全不熟 OTZ
→ iyenn:大家都不熟:)