作者CRAZYAWIND (怒火燒不盡)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-邊界直問題~
時間Mon Oct 12 22:27:20 2009
※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: 先問一題BESSEL ..
: 1.
: 2 2
: x y'' - 2xy' - (x - 2)y = 0
: 答案
: y = c1 xcoshx + c2 xsinhx
: 但是我的答案是
: 3 3
: --- ---
: 2 2
: y = A1 x I (x) + A2 x K (x)
: 1 1
: --- ---
: 2 2
對的 別想太多 化簡成上面的 又要用到前幾天那篇長篇大論
: 2.
: Find eigenvalues and eigenfunctions of
: y'' - 5y' + Qy = 0 , 0<x<pi , y(0)=0 , y(pi) = 0
: 痾 這題其實 我只是想要問...
: --------
: + |
: 5 \| 25-4Q
: -
: -----------------
: 2
: 這要怎麼變成 y 阿..
: 應該說怎麼看 比較清楚.. "Q = 濫打"
先開始解微分方程
令y=e^mx
5 ± √(25-4λ)
m= ─────────
2
開始解25-4λ>0 25-4λ= 0 25-4λ<0
25-4λ=p^2 25-4λ=0 25-4λ=-p^2
令p^2為了消根號
討論大於零
y= e^(5/2)x [c1coshp/2x+c2sinhp/2x]
y(0) = 0 = c1
y(π)= 0 = c2 trivial
等於零
y = (c1x + c2)e^(5/2)x
y(0) = 0 =c2
y(π) = 0 =c1
小於零
y=e^(5/2)x [c1cospx/2+c2sinpx/2]
y(0) =0 =c1
y(π) = 0 令c2 =/= 0
sinpπ/2 = 0 pπ =2nπ p =2n
4λ= p^2 +25
λ = n^2 + 25/4
y = c2e^(5/2)x sin2nx
: 3.
: y'' + Qy = 0 , 0 < x < L , y(0) = 0 , y'(L) + Ay(L) = 0 , A>0
: = =
: 答案是
: an
: Q = [ ---- ] , n=1,2,3,..
: n L
: an
: y = Cnsin---x
: n L
: x
: an 為 y=tanx 雨 y = - ---- 焦點橫座標值
: AL
: 我算到
: c2(BcosBL + AsinBL)=0
: 就卡住了..
: 我知道接下來 是拿 BcosBL + AsinBL 來討論 前提是 我沒做錯@@
令λ<0 λ=-p^2
y= c1coshpx +c2sinhpx
y(0)= 0 = c1
y'(x) = c2pcoshpx
c2(pcoshpL + A sinhPL) = 0 因(pcoshpL + A sinhPL)=/=0 trivial
λ=0
y = c1x + c2
y(0) = 0 = c2
y'(x) = c1
c1 +Ac1L = 0 c1 = 0 trivial
λ>0 λ=p^2
y= c1cospx + c2 sinpx
y(0) = 0 = c1
y'(x) = c2pcospx
c2(pcospL + AsinpL) = 0
令c2 =/= 0
tanpL = -p/A
令上式的解為pn λ=pn^2
y=c2sinpnx
: 4.
: Find eigenvalues and eigenfunctions of
: y'' + Qy = 0 , y(0) + y'(0) = 0 , y(L) = 0
: 答案是
: an 2
: Qn = [ --- ] , n= 1,2,3..
: L
: an
: yn = cn sin ---(x-L)
: L
: x
: an 為 y = --- 雨 y = tanx 焦點橫座標值
: L
: 我也是算到
: c2(sinBL - BcosBL) = 0
: 就接不下去了
平移邊界
令t = x - L
邊界變為 y(-L) + dy/dt(-L)=0 y(0)=0
令λ<0 λ=-p^2
y=c1coshpt +c2sinhpt
y(0) = 0 = c1
y'(t) = c2pcoshpt
c2(-sinhpL + pcoshpL) = 0 (-sinhpL + pcoshpL) =/= 0 trivial
λ = 0
y= c1t + c2
y(0) = c2 = 0
y(-L) + y'(-L) = 0
c1-c1L = 0 令c1 =/= 0 L = 1
y = c1t =c1(x-1)
λ>0 λ = p^2
y = c1cospt + c2 sinpt
y(0) = 0 = c1
y'(t) = c2pcospt
c2(-sinpL + pcospL) = 0 令 c2 =/= 0
(-sinpL + pcospL) =0
tanpL = p
令其解為pn
λ = pn^2
y = c2sinpnt = c2sinpn(x-L)
: =======================================
: 3.4 兩題 都是在
: 2
: -Q < 0 , 另 -Q = -B , B > 0 的情況下
: 5.
: If 函數 g1 = a0 , g2 = b0 + b1*x
: 2
: g3 = c0 +c1*x + c3*x 在 -1 < x < 1 之區間內行成
: = =
: 單位正教函數集 請求 g1 , g2 , g3 之值..
這題的話
因為為單位正交集合 所以自己的norm為1 不同函數內積為0
開始取內積去算吧= = 1 2
║g1║ = √<g1 . g1> = √(∫ a0 dx) = √2 a0 =1 a0 = 1/√2
-1
1
<g1.g2> = ∫ a0(b0+b1x) dx = 2a0b0 = 0 a0有值 b0 = 0
-1
1 2
║g2║ = √<g2.g2> = √∫ (b1x) = 1
-1
b1 = √(3/2)
1
<g1.g3> = ∫ a0(c0+c1x+c2x^2) dx = 2a0c0 + 2/3 a0c2 = 0
-1
2c0 + 2/3c2 =0 -------------------(1)
1 2
<g2.g3> = ∫ b1x(c0+c1x+c2x) dx = 2/3b1c1 =0 因為b1有值 c1 = 0
-1
1 2 2 2 2
║g3║ = √<g3.g3> = √∫ (c0+c2x ) dx = √(2c0 + 4/3c0c2 + 2/5c2 )=1
-1
上面的g3為(2)
將(1)代入(2) 可解得 c0 = -√(5/8) c2 = √(45/8)
剩下的代一代就出來了
: 答案
: ------- ----- --------
: 1 | 3 | 5 | 45 2
: g1 = ---- , g2 = | ---x , g3 = | --- - | ---x
: ---- | 2 | 8 | 8
: \| 2 \| \| \|
: 我只知到 我兩個兩個 慢慢積...
: 積出
: 3b0*c0 + b0*c3 + b1*c1 = 0
: a0*b0 = 0
: 2a0*c0 + a0*c1 = 0
: 不知道這些有沒有用處..
: 請各為高手了@@
--
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◆ From: 59.105.159.190
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (10/12 22:49)
→ mdpming:感謝妳~~~ 我以為妳會5題都寫說 哈 10/12 22:33
→ mdpming:~"~ 10/12 22:33
→ CRAZYAWIND:我慢慢寫阿 寫一題 就改一次阿 10/12 22:37
→ CRAZYAWIND:一題又臭又長 打字一口氣打完說不定就散場了 10/12 22:37
推 mdpming:妳這麼好心 一定能上台大的QQ 10/12 22:39
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (10/12 23:06)
→ QQkimi:好驚人的數學能力!好心有好報的^^ 10/12 22:55
→ CRAZYAWIND:寫一題只要5-10分 打字就要花上好久= = 10/12 23:07
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (10/12 23:35)
推 mdpming:呵呵 感謝@@ i大 今天都偷懶 沒跟你分單工作.. 10/12 23:10
→ iyenn:-,- 10/12 23:24
※ 編輯: CRAZYAWIND 來自: 59.105.159.190 (10/13 00:42)
推 mdpming:我看完了 等等要自己算一次 真的太感謝了 10/13 00:46