推 fonlintw0621:這麼晚了 還沒睡阿 XD 10/15 04:01
→ iyenn:是睡醒了... 10/15 04:34
推 smisfun:i大真厲害 連死都不要用的方法都詳細推過 10/18 01:31
※ 引述《trainausidd (呆呆a蚊子)》之銘言：
: 想請問一下 以下兩題怎麼解
: 越多方法越好 Thx~
: (1) xy" + y' + 0.25y = 0
: (2) xy" - y' + xy =0
xy" - y' + xy =0
一般來說是話bessel解
x^2y''-xy'+x^2y=0
let y=vx
y'=xv'+v
y''=2v'+xv''
x^2(2v'+xv'')-x(xv'+v)+x^2xv=0
x^2v''+xv'+(x^2-1)v=0 bessel eq
v=c1J (x) +c2Y (x)
1 1
y=x(c1J (x) +c2Y (x))
1 1
--------------------------------------------
接下來是死都不要用的方法,除非...題目要你死XD
--------------------------------------------
xy" - y' + xy =0
∞
let y =sum anx^(n+r)
n=0
∞
y'=sum an(n+r)x^(n+r-1)
n=0
∞
y''=sum an(n+r)(n+r-1)x^(n+r-2)
n=0
=>
∞ ∞
sum an{(n+r)(n+r-1)-(n+r)}x^(n+r-1) + sum anx^(n+r+1)=0
n=0 n=0
∞ ∞
sum an{(n+r)(n+r-2)}x^(n+r-1) + sum anx^(n+r+1)=0
n=0 n=0
∞ ∞
sum ak+1{(k+r+1)(k+r-1)}x^(k+r) + sum ak-1x^(k+r)=0
k=-1 k=1
∞ ∞
sum ak+1{(k+r+1)(k+r-1)}x^(k+r) + sum ak-1x^(k+r)
k=1 k=1
+ a0(r(r-2))x^(r-1)+a1(r^2-1)x^r =0
∵a0≠0
∴r(r-2)=0 r=0 or 2 and a1=0
-1
ak+1=---------------ak-1 ,k=1,2,... (1)
(k+r)^2-1
-1
a2=---------------a0
(1+r)^2-1
a3=0=a5=...
-1
a4=---------------a2
(3+r)^2-1
let a0=c0r and r=0 ->(1)
-1 @a2 | 1
a2=---c0 ----| =----c0
2 @r |r=0 4
1 @a4 | -11
a4=----c0 ----| =---c0
16 @r |r=0 64
-1 1
y1=c0(---x^2 + ----x^4 + ....)
2 16
∞ @an(r) |
y2=y1lnx+sum-------x^n+r |
n=0 @r |r=0 (@為偏微分)
1 -11
=y1lnx+c0(1+---x^2+----x^4+...........)
4 64
Ans: y=Ay1+By2
有算錯在說...最近腦殘指數100%....=.=
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※ 編輯: iyenn 來自: 123.193.214.165 (10/15 03:55)