推 plumeshouse:謝謝I大的解釋@@ 10/15 16:06
※ 引述《plumeshouse (羽居)》之銘言：
: 2 (2) (1)
: x y + 2 y + x y =0
: 此題可用換y 級數 拉式轉換來解
: 前兩項我會算
: 可是換成拉式卻卡住
: 請大大幫我解一下
: (-1/2) (-1/2)
: y=C1x sinx+C2x cosx
xy''+(1-2v)y'+xy=0
y(0)=0 y'(0)=0
-d dY
---(s^2Y)+(1-2v)(sY) - --- =0
ds ds
-(s^2+1)Y'-(2S)Y+(1-2v)sY=0
(s^2+1)Y'+(1+2v)sY=0
1
lnY+---(1+2v)ln(s^2+1)=c'
2
c
Y=-----------------
(s^2+1)^(1+2v)/2
c 1
Y=-------- ------------------
s^(1+2v) (1+1/s^2)^(1+2v)/2
c ∞ r 1
=--------Sum C (---)^k ,r=-(1+2v)/2
s^(1+2v)k=0 k s^2
其中
r (-(1+2v)/2)((-(1+2v)/2)-1)...((-(1+2v)/2)-k+1)
C =----------------------------------------------
k k!
-1-2v -3-2v -2k+1-2v
(------)(------)...(--------)
2 2 2
=----------------------------------------------
k!
1+2v 3+2v 2k-1+2v
(------)(------)...(--------)(-1)^k
2 2 2
=----------------------------------------------
k!
(-1)^k(1+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
=------------------------------
(2^k)k!
(-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
=----------------------------------
(2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)
(-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)(2k+2v)
=-----------------------------------------
(2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)(2k+2v)
(-1)^k(2k+2v)!
=-------------------- 帶回
(2^k)k!2^(k+v)(k+v)!
=>
c ∞ (-1)^k(2k+2v)! 1
--------Sum -------------------- (---)^k
s^(1+2v)k=0 (2^k)k!2^(k+v)(k+v)! s^2
∞ (-1)^k (2k+2v)!
=cSum -------------------- ------------
k=0 k!2^(2k+v)(k+v)! s^(2k+2v+1)
y=L^-1(Y)
∞ (-1)^k
=cSum -------------------- x^(2k+2v)
k=0 k!2^(2k+v)(k+v)!
∞ (-1)^k x^(2k+v)
=cx^vSum -------------------
k=0 k!(k+v)! 2^(2k+v)
=cx^vJ (x)
v
imply y=dx^vJ (x) is also solution
-v
∴ yh=cx^vJ (x)+dx^vJ (x) ,
v -v
v=-1/2
use bessel to verify answer
xy''+2y'+xy=0
Let y=vx^-1/2=vu
y'=v'u+u'v
y''=v''u+2v'u'+vu''
x(v''u+2v'u'+vu'')+(2)(v'u+u'v)+xvu=0
x^2v''+ xv'+(x^2-0.25)v
v=c1J0.5+C2J-0.5
y=x^-1/2(c1J0.5+C2J-0.5)
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