推 mdpming:我今天也研究了一下 稍微 稍微懂一點點點... 10/15 15:41
※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: : y'' + Qy = 0 , -L < x < L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L)
: : = =
: : 求 特徵值 雨 特徵函數
: : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 這我會
: : 但是..
: : 並判斷特徵函數是否正交..
: : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 我不知如何下手 有5個CASE..
: : http://www.wretch.cc/album/show.php?i=pigming&b=23&f=1508326173&p=0
: : 這是解答 詳解..
: : 請問這...該怎麼解 能放掉嗎...
: : S-L 已經困擾我一天了..還是沒頭緒@@
昨天看到這題我愣住了一下 = =明明心中念的是相異的特徵值 對應到的特徵函數相對W
為正交 可是我卻帶入 {1 sinnπ/L cosnπ/L} 為正交的座標軸想法= =
今天睡醒後清醒多了
∞ ∞
此題的特徵函數 有 {0 (nπ/L)} 對應到的特徵涵數{1 (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L)}
n=1 n=1
L
因為這是S-L 週期性的邊界 必定滿足 ∫ w(x)yn(x)ym(x) = 0
-L
L
代入特徵涵數 ∫ (1) (1) (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) dx
-L
L L
∫ (1)c1sinnπx/L + ∫ (1) c2cosnπx/L dx = 0
-L -L
所以 1 與 sinnπx/L 1與 cosnπx/L 為正交
然後算第(c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) 與 (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L)
的內積 n =/= m 因為這是對應到不同eigenvalue的eigenfuntion
L
∫ (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L) dx
-L
可拆成4部份去討論
L L
∫ c1c3sinnπx/L sinmπx/L +∫ c1c4sinnπx/L cosmπx/L
-L -L
L L
+∫ c2c3cosnπx/L sinmπx/L + ∫ c2c4cosnπx/L cosmπx/L =0
-L -L
故可知 sinnπx/L cosnπx/L sinmπx/L cosmπx/L 互為正交
: y'' + Qy = 0 -L <= x <= L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L)
: let λm,λn is corresponding eigenvalue
: ym,yn is corresponding eigenfunction
: and
: y''m+λmym=0 ...(1)
: y''n+λnyn=0 ...(2)
: (1)*yn-(2)ym
: yny''m-ymy''n+(λm-λn)ymyn=0
: d(ynym'-ymy'n)+(λm-λn)ymyn=0
: L L
: (ynym'-ymy'n)|+(λm-λn)∫ymyndx=0
: -L -L
: ∵ym(-L) = ym(L) , ym'(-L) = ym'(L)
: yn(-L) = yn(L) , yn'(-L) = yn'(L)
: L
: ∴(λm-λn)∫ymyndx=0
: -L
: ∵λm≠λn
: L
: ∴∫ymyndx=0
: -L
: imply <ym,yn>=0 at -L <= x <= L with weight function 1
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