Re: [理工] [工數]-拉式轉換

[plumeshouse (羽居)]

※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: ※ 引述《plumeshouse (羽居)》之銘言：

: : 此題可用換y  級數 拉式轉換來解
: : 前兩項我會算
: : 可是換成拉式卻卡住
: : 請大大幫我解一下
: :      (-1/2)        (-1/2)
: : y=C1x      sinx+C2x      cosx


: xy''+(1-2v)y'+xy=0
       ^^^^^^^
       這裡為什麼要這樣假設??為了後面Bessel的驗證嗎??還是經驗??

: y(0)=0  y'(0)=0
: -d                      dY
: ---(s^2Y)+(1-2v)(sY) - --- =0
:  ds                     ds
: -(s^2+1)Y'-(2S)Y+(1-2v)sY=0
: (s^2+1)Y'+(1+2v)sY=0
:      1
: lnY+---(1+2v)ln(s^2+1)=c'
:      2
:       c
: Y=-----------------
:   (s^2+1)^(1+2v)/2
:       c          1
: Y=-------- ------------------
:   s^(1+2v) (1+1/s^2)^(1+2v)/2
:      c    ∞   r    1
:  =--------Sum C   (---)^k  ,r=-(1+2v)/2
:   s^(1+2v)k=0  k    s^2
: 其中
:  r (-(1+2v)/2)((-(1+2v)/2)-1)...((-(1+2v)/2)-k+1)
: C =----------------------------------------------
:  k            k!
:     -1-2v   -3-2v      -2k+1-2v
:    (------)(------)...(--------)
:       2       2           2
:   =----------------------------------------------
:              k!
:     1+2v     3+2v      2k-1+2v
:    (------)(------)...(--------)(-1)^k
:       2       2           2
:   =----------------------------------------------
:                   k!
:    (-1)^k(1+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
:   =------------------------------
:               (2^k)k!
:    (-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)
:   =----------------------------------
:    (2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)
:    (-1)^k(1+2v)(2+2v)(3+2v)...(2k-1+2v)(2k+2v)
:   =-----------------------------------------
:    (2^k)k!(2+2v)(4+2v)...(2k-2+2v)(2k+2v)
:    (-1)^k(2k+2v)!
:   =-------------------- 帶回
:    (2^k)k!2^(k+v)(k+v)!
: =>
:      c    ∞   (-1)^k(2k+2v)!         1
:   --------Sum --------------------  (---)^k
:   s^(1+2v)k=0  (2^k)k!2^(k+v)(k+v)!   s^2
:    ∞   (-1)^k               (2k+2v)!
:  =cSum --------------------  ------------
:    k=0  k!2^(2k+v)(k+v)!     s^(2k+2v+1)
: y=L^-1(Y)
:    ∞   (-1)^k
:  =cSum -------------------- x^(2k+2v)
:    k=0  k!2^(2k+v)(k+v)!
:       ∞   (-1)^k   x^(2k+v)
:  =cx^vSum -------------------
:       k=0  k!(k+v)! 2^(2k+v)
:  =cx^vJ (x)
:        v
: imply y=dx^vJ (x) is also solution
:              -v
: ∴ yh=cx^vJ (x)+dx^vJ (x) ,
:            v         -v
:    v=-1/2
: use bessel to verify answer
: xy''+2y'+xy=0
: Let y=vx^-1/2=vu
:     y'=v'u+u'v
:     y''=v''u+2v'u'+vu''
:     x(v''u+2v'u'+vu'')+(2)(v'u+u'v)+xvu=0
:     x^2v''+ xv'+(x^2-0.25)v
:     v=c1J0.5+C2J-0.5
:     y=x^-1/2(c1J0.5+C2J-0.5)
        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
     (-1/2)        (-1/2)            ====>兩式之間如何轉換
 y=C1x      sinx+C2x      cosx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

  上面還有兩個問題可以請大大幫我解釋一下嗎

  感恩啦!!





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◆ From: 220.131.6.73
推 CRAZYAWIND:(1-2v)=2 v=-1/2 令y=x^-1/2z 變數變換
→ CRAZYAWIND:轉換的話 請看 17970 不過還是別轉的好
→ CRAZYAWIND:要完整做出sin cos 還是靠級數解比較好
→ plumeshouse:喔喔~~所以還是要用到Bessel  了解3Q
→ iyenn:其實你的答案應該是有錯=.=
→ plumeshouse:沒有耶  我查過兩個都可以....