[理工] [工數]-向量

[terrylove12 (風馡)]

求解下面的問題 這題是97成大水利的第2題
題目是
Consider line integrals
 ∫c F．dr=∫c  F1dx+F2dy+F3dz ,where F=(F1,F2,F3)

 r=(x,y,z) are vector, prove that this line integral is path independent
 if and only if

(a) F=grad f =▽f
or (b)∮c F．dr=0 (integration around closed curves c always gives 0 )
or (c)▽ ×F=0 provided the region enclosed by curve c is simply commected

依第一個條件我的推導是
F=grad f =▽f
f=(x,y,z)

df=▽f．dr
∫c F．dr=∫c ▽f．dr=∫c df (設定a積到b)=f(b)-f(a)
積分過程中未代入路徑參數，故積分值與路徑無關

但是第二個條件 我知道封閉曲線積分為0 是保守場 故與路徑無關
但是不知道該怎麼去描述 所以有請各位大大幫我想想
第3題也是▽ ×F=▽ ×▽f=0 是要用這個去推f存在
然後套第一個條件嗎?

有請各位神人了

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◆ From: 140.121.215.82
推 ntust661:利用旋度可以嗎?
→ ntust661:如果第一題成立，代表 ∫c ▽f dr = f(b) - f(a)
→ ntust661:那路徑積分了一圈，代表f(a) - f(a) = 0
→ ntust661:第三題 利用 外積 + 梯度運算子 定義算下去一定會零
→ terrylove12:第二題這樣我想應該可以符合雙箭號:)
→ terrylove12:但是第三題 就不暸了 是用來證明存在f ?