Re: [理工] [線代]-線性映射

[iyenn (曉風)]

※ 引述《CCZR (阿翔)》之銘言：
: 1.Let a be a basis for a finite dimensional vector space V and
: T(a)={T(v),v屬於a}  If T is a linear operator on V then T is
: onto if T(a) is a basis for V.
: 答案是true   但是他只有說他是onto沒說是one to one? 怎麼確定
: 他映射出來的會是基底?
: 2.兩個方陣A B
:   rank(AB)=rank(A) if and only if  B是非奇異
:   有辦法證明嗎? 解答都只舉反例


1.
T:V->V
if T is onto ->rank(T)=dim(V)
             ->N(T)=0
             ->It's one-to-one
2.
   (1)rank(AB)=rank(A)
             <=min{rank(A),rank(B)}
           只能知道rank(B)>rank(A)
           並不能保證B是full rank

   (2)if B is full rank
           rank(A)
          =rank(ABB^-1)
         <=min(rank(AB),rank(B^-1))
         <=rank(AB)

       rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))
               <=rank(A)

       Rank(AB)<=rank(A) ...(1)
       Rank(AB)=>rank(A) ...(2)
     =>Rank(AB)=Rank(A)

所以這是  B is full rank =>rank(AB)=rank(A)
          但是推不回來,所以不是if and only if

反例也算證明的一種,因為要否定它是對的.只要能找一個錯的case就行了.

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◆ From: 123.193.214.165
※ 編輯: iyenn           來自: 123.193.214.165      (11/03 10:07)
※ 編輯: iyenn           來自: 123.193.214.165      (11/03 17:12)
推 hayouj2000:請問第一題N(T)=0 -> It's one-to-to
→ hayouj2000:是因為N(T)=0 代表T可逆 也就是反函代表在值域的數都可
→ hayouj2000:對回來嗎 還是有其他的觀念
推 chenbojyh:N(T)=0  就是 one-to-to  但  N(T)=0 並不代表T可逆
→ chenbojyh:要one-to-one 且 onto 才T才是可逆的
推 hayouj2000:N(T)=0<=>T:nonsingular T不就可逆嗎??
推 bennylu:n*n時, nonsingular才等價invertible
推 hayouj2000:所以因為Linear operator T為方陣 可逆?