推 gn00618777:我在令 y=xe^λt 這邊就不太懂位啥要這樣設 11/04 18:44
推 JaLunPa:請戴上眼鏡 11/04 22:02
→ iyenn:想想一階ode的解,跟矩陣特徵值&向量的關係. 11/04 22:35
→ iyenn:應該不難懂 11/04 22:35
※ 引述《gn00618777 (123)》之銘言：
: 這題我覺得應該是對角化問題最難的...
: 清大電機
: y' = 3y + 4y
: 1 1 2
: y' = 3y + 2y
: 2 1 2
: y (0)=9 , y (0)=1
: 1 2
: 解答我看了依然不懂
d
-- Y = AY
dx
┌ ┐ ┌ ┐
｜ 3 4 ｜ │ y1 │
其中 A = ｜ ｜ , Y = │ │
｜ 3 2 │ │ y2 │
└ ┘ └ ┘
λt
令 Y = X e
代入原式後得
λt λt
λX e = AX e
λt
消去 e ≠ 0 得
AX = λX
解得特徵值 λ1 = 6 , λ2 = -1
┌ ┐ ┌ ┐
│ 4 │ │ 1 │
對應的特徵向量 X1 = │ │ , X2 = │ │
│ 3 │ │-1 │
└ ┘ └ ┘
6t -t
通解為 Y = c1 e X1 + c2 e X2
代入初始條件 y1(0) = 9
y2(0) = 1
得 4c1 + c2 = 9
3c1 - c2 = 1
10 23
解得 c1 = ---- , c2 = ----
7 7
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
｜ y1 ｜ 10 6t｜ 4 ｜ 23 -t ｜ 1 ｜
｜ ｜ = ---- e ｜ ｜ + ---- e ｜ ｜
｜ y2 ｜ 7 ｜ 3 ｜ 7 ｜-1 ｜
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ 40 6t 23 -t ┐
｜---- e + ---- e ｜
｜ 7 7 ｜
=｜ ｜
｜ 30 6t 23 -t ｜
｜---- e - ---- e ｜
└ 7 7 ┘
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