Re: [理工] [工數]-齊性邊界值

[iyenn (曉風)]

※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言：
: 1.considerthe following singular Sturm-Liouville problem
:   2         2 2
:  x y"+2xy'+λx y=0  y(0)finite  and  y'(1)=-2y(1)
: find 特徵植與特徵函數
:                -1/2
: hint:set y(x)=x     z(ξ), ξ=λx   and compare tje resulting z-equation with
:                          2           2  2
:  the bessel equation   ξ z"+ξz'+(ξ -v  )=0
:                           2   1/2                     2   1/2
: furthermore use J1/2(x)=(----)    sinx    J-1/2(x)=(-----)    cosx
:                          πx                         πx
:                                           1
: 答案為λn為y=-x與y=tanx交點橫座標   yn=cn---sinλnx
:                                           x
: 2.
:    4     3
:   x y"+2x y'=λy   y(1)=0   y(2)=0  find 特徵值與特徵函數
: (hint:let s=1/x)
:             2  2                  1
: 答案:λn=-4n π     yn=cnsin[2nπ---]
:                                   x
:    2
: 3.x  y" +xy'+9λy=0  y'(1)=0  y(e)=0
:                      2
: 答案:λn=[(2n-1)π/6]   yn=cncos[(2n-1)π*lnx/2]
: 這題怎麼我算出來是yn=cncos[(2n-1)π*(lnx-1)/2]
: 謝謝各位了



2.

   4     3
  x y"+2x y'=λy   y(1)=0   y(2)=0  find 特徵值與特徵函數
(hint:let s=1/x)

           2  2                  1
答案:λn=-4n π     yn=cnsin[2nπ---]
                                  x


    Let s=1/x

           dy  ds
        y'=--- ---=-x^-2y`
           ds  dx

            d
        y''=---(-x^-2y`)=(2x^-3)y`+(x^-4)y``
            dx

        x^4((2x^-3)y`+(x^-4)y``)-2x^3(x^-2)y`=λy

        y``-λy=0

        let  λ=-w^2 ,w>0

        y=c1cosws+c2sinws
         =c1cos(w/x)+c2sin(w/x)

        y(1)=0=c1cos(w)+c2sin(w)
        y(2)=0=c1cos(w/2)+c2sin(w/2)

              [cosw     sinw][c1]=[0]
              [cosw/2 sinw/2][c2]=[0]

              Ax=0 have nontrivil solution s.t A is singular
              det(A)=0 =>w=2nπ ,n=1,2,3...
                         c1=0

        Ans:λ=-(2nπ)^2 ,n=1,2,3,...
            y=cnsin(2nπ/x)



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推 winer8:為什麼知道C1係數是0阿?  可以告訴我嗎
→ iyenn:w=2nπ->c1cosw+c2sinw=0=c1+c2*0=>c1=0