Re: [商管] [數理統計]-一題條件期望值證明題

[yitsung (夜衝弟)]

Φ(x)=E[Y│X] ,試證 E{[ Y -Φ(x)]^2 } = E(Y^2) - E(Φ(x)^2 )

E{[ Y -Φ(x)]^2 }

= E( Y^2 - 2YΦ(x) + Φ(x)^2 )

= E( Y^2 ) - 2E(YΦ(x)) + E( Φ(x)^2 )

= E( Y^2 ) - 2E(E(YΦ(x) | X) + E( Φ(x)^2 )

( 因為E(E(S|X)) = ES, 雙重期望值定理 , 這邊令 S = YΦ(x) )

= E( Y^2 ) - 2E(Φ(x)E(Y|X)) + E( Φ(x)^2 )

( Φ(x) 是 X 的函數, 所以可以提出去)

= E( Y^2 ) - 2E( Φ(x)^2 ) + E( Φ(x)^2 )

= E( Y^2 ) - E( Φ(x)^2 )

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◆ From: 58.114.142.87
※ 編輯: yitsung         來自: 58.114.142.87        (11/13 15:13)
推 ggyyde:第三個等式中間項是對隨機變數X的函數取期望值嗎?
→ ggyyde:第四個等式部分 2Φ(x)E( Φ(x) )=2E( Φ(x)^2 ) ??
→ ggyyde:如果這東西是對的，那 xE(X)=E(X^2) ??
→ ggyyde:抱歉，小弟觀念有點薄弱，煩請指教，謝謝！
推 urml:2跟3裡面中間的Φ(x)應該是E[Φ(x)]就對摟
推 urml:應該說  後面的EY的E 往前移  其他不變~~
推 ggyyde:E[Φ(x)*Y]=Φ(x)E(Y)=Φ(x)E[Φ(x)]=E[Φ(x)^2]
→ ggyyde:最後一個部分我還是不懂為什麼 對X函數取期望值
→ ggyyde:外面X的函數為什麼可以丟到期望值內，他並不是常數
※ 編輯: yitsung         來自: 58.114.150.184       (01/23 23:35)