Re: [理工] [線代]-求特徵多項式

[elps ( )]

※ 引述《chenbojyh (阿志)》之銘言：
: ※ 引述《HP0 (cksh)》之銘言：
: : [0 1 2 3 4 6 8 9 9 5 2 5 2 3 4 5]
: : [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : [5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
: : 求特徵多項式
: 設此矩陣為Ａ
: gm(0) = nullity(Ａ-0Ｉ) = 14
: gm(√(1+2+3+4+6+8+9+9+5+2+5+2+3+4+5)) = gm(√68)
:                                       = nullity(Ａ-√68Ｉ)
:                                       = 1
: gm(-√(1+2+3+4+6+8+9+9+5+2+5+2+3+4+5)) = gm(-√68)
:                                       = nullity(Ａ+√68Ｉ)
:                                       = 1
: ∴特徵多項式 = x^14(x-√68)(x+√68)
: 應該是這樣子吧......
因為 nullity(A) = n-2, 所以可以先確定 0 有 16-2 = 14 個

接著考慮其他的 eigenvalue λ, λ!=0,

設 x=[x1 x2 ... x16]^t 為 eigenvector w.r.t. λ,

所以 Ax=[a1 a2 ... a16]x=λx, 則 x1a1 + x2a2 + ... x16a16 = λx,

從這個式子我們可以很清楚的把所有的equation列出來:
(因為除了a1以外, 其他的行裡面的元素幾乎都是零)

1(x2) + 2(x3) + ... + 5(x16) = λx1  ---(*)
1(x1) = λ(x2) => x2 = (x1)/λ
2(x1) = λ(x3) => x3 = 2(x1)/λ
...
5(x1) = λ(x16) => x16 = 5(x1)/λ

把下面幾式的結果帶入(*), 可得
(x1)/λ + 2(2(x1)/λ) + ... + 5(5(x1)/λ) = λx1
=> (1 + 2^2 + ... + 5^2)x1 = (λ^2)x1

因為 x1!=0 (如果 x1=0, x=0 矛盾)
=> (1 + 2^2 + ... + 5^2) = λ^2
=> λ = (1 + 2^2 + ... + 5^2)^(1/2), -(1 + 2^2 + ... + 5^2)^(1/2)
      = 20, -20

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◆ From: 140.112.28.201
推 HP0:謝謝！！
推 iyenn:利害!