Re: [理工] [工數]-P.D.E.

[jmKevin ( )]

※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言：
: ※ 引述《Nowitzness (Nowitzness)》之銘言：
: : 周易8-34頁
: : By using Fourier transform,solve
: :      2
: : @u  @ u
: : — =—— +δ(x)δ(t),u(x,0)=δ(x) lim   u(x,t)=0
: :      2                           x→±∞
: : @t  @ x
: :      1      π                   x^2
: : Ans:[—π√(—) ]*[1+H(t)]*exp[- — ]
: :      2      t                    4t
: : 有請高手解答!感恩
: @u  @ u
: — =—— +δ(x)δ(t),u(x,0)=δ(x) lim   u(x,t)=0
:      2                           x→∞
: @t  @ x
: Let F(u(x,t))=U(w,t)
: U'+w^2U=δ(t)
: F(u(x,0))=1=U(w,0)
: let L{U(w,t)}=U`(w,s)
: SU`-1+w^2U`=1'
:     1'       1
: U`=----- + ------
:    s+w^2    s+w^2
: =>
: U(w,t)=(u(t)+1)e^-w^2t
:            1   ∞
: u=F^-1(U)=--- ∫(u(t)+1)e^-w^2t e^iwxdw
:           2π -∞
: 其實寫這樣就可以了=.=a
: let w=-w'
:            1   ∞
:          =--- ∫(u(t)+1)e^-w'^2t e^-ixw'dw'
:           2π -∞
: recall:
:               π
: F(e^-ax^2)=√(---)e^-w^2/4a
:                a
:      1             π
: ∴u=---(u(t)+1) √(---) e^-x^2/4t
:     2π             t


小弟不才，這題我一直算不出答案，不知道問題出在哪

麻煩大家抽空幫我看一下哪裡寫錯了

我的算法是這樣...

                 1    ∞                  ∞
sol: u(x,t) =  ----- ∫ U e^iwx dw , U = ∫ u(x,t) e^-iwx dx
                2π  -∞                  -∞

     題目的PDE取傅立葉轉換後

       @
     ---- U = -w^2 + δ(t)
      @t
                           1
     U = c e^(-(w^2)t) + ------- δ(t)
                         D+w^2

       = c e^(-(w^2)t) + e^(-(w^2)t) ∫ e^((w^2)t) δ(t) dt

       = c e^(-(w^2)t) + e^(-(w^2)t)

                        ∞
    取 t = 0 , c + 1 = ∫δ(t) e^-iwx dx = 1 , c = 0
                        -∞
                                 1       π        x^2
    U = e^(-(w^2)t) , u(x,t) = ----- √(---) e^(- -----)
                                2π      t         4t

    好像少了一項，不知道是哪邊出問題@@a





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◆ From: 61.225.122.163
推 Nowitzness:∫ e^((w^2)t) δ(t) dt     可以直接代1?
→ jmKevin:因為在δ(0)的時候才是1其他都是0 所以 e^((w^2) 0 ) = 1
→ jmKevin:所以∫ e^((w^2)t) δ(t) dt = 1
→ iyenn:                             =H(t)=1 at t>0  =0 at t<0
→ iyenn:牽涉到特殊函數所以我也不是很清楚XD H(0)=??到底是哪套規定
→ iyenn:就用L氏去回避這個窘境= =a
→ iyenn:嚴格來說delta函數是廣義函數,想瞭解請找數學系-,-
→ jmKevin:感謝您的回答 看來也只能用拉氏算這個比較不會出問題了