[理工] [工數] 條件的微分方程式

[ntust661 (661)]

Solve the initial value problem  y(0) = -2  y'(0) = 1


我看這題我們學校老師是用Laplace解



                    ╭ t        0 ≦ t ≦ 3
y'' - 4 y' + 4y = ─┤
                    ╰ t + 2    t ≧ 3



我覺得這題可以分開解O.D.E


為什麼答案並不是我用直接解ODE得到的解呢?



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我解出來的通解

                        2t        2t
y = 1/4 + t/4 + 21/4 t e   - 9/4 e       0 ≦ t ≦ 3

                        2t         2t
y = 3/4 + t/4 + 25/4 t e   - 11/4 e       t ≧ 3


解答

                     2t           2t
y = 1/4 + t/4 - 9/4 e   + 21/4 t e    0 ≦ t ≦ 3

                     2t           2t              2(t-3)              2(t-3)
y = 1/4 + t/4 - 9/4 e   + 21/4 t e   + 1/2 - 1/2 e       + ( t - 3 ) e

                                                        -6
我感覺我第二個特解解答怪怪的，但不知道為什麼竟然會求出 e    這個乘項

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.83
推 IMISSA:喻超凡:條列式的用LT解~
→ ntust661:我不知道愈老是誰= =
推 jamtu:因為你的函數定義域不是全部實數
→ jamtu:而是定義在t>0
→ jamtu:所以你的函數要寫成實數必須要給step input
→ jamtu:這種T>0的問題建議是Laplace比較不會搞錯
推 CRAZYAWIND:不可以用這樣解@@~ 函數不是連續的 ....
→ ntust661:不懂= =
→ ntust661:我可以說
→ ntust661:假設這算一種片段連續
→ ntust661:那我應該可以單純討論區間內的微分性質就好啦
推 CRAZYAWIND:沒片段連續了阿 3的左邊不等於右邊 有跳耀值δ
→ ntust661:不是啊
→ ntust661:片段連續不是說 函數中有幾個段點
→ ntust661:而且它的左右極限存在
→ ntust661:但不一定左極限要等於右極限阿!
→ ntust661:不懂ㄚ!!
※ 編輯: ntust661        來自: 140.118.234.83       (11/16 23:30)
推 shinyhaung:你題目的區間有點怪 t=3的時候f(x)值會不同
→ ntust661:為什麼不能不同?
推 shinyhaung:那這樣的話就跟C大說的一樣會有一個脈衝效應δ
→ shinyhaung:直接解ODE沒辦法處理δ函數 就跟你沒辦法直接解u(t)
→ shinyhaung:是一樣的 因為在t=0的時候會有一個脈衝
→ shinyhaung:然而用Laplace可以處理是因為Laplace的原始積分
→ shinyhaung:積分範圍是從0+ 積分到 ∞ 因此可以避免脈衝效應
推 CRAZYAWIND:這題或許可以用ODE的方法下去解
→ CRAZYAWIND:只不過首先要先知道解答在t=3的時候是連續涵數
→ CRAZYAWIND:然後......把t≦3的解先算出來
→ CRAZYAWIND:在令t=3的點 把t=3代入y和y'中
→ CRAZYAWIND:令t≧3的解為d1e^2t d2te^2t 去代入3和  t≦3的求解
→ CRAZYAWIND:說的很混亂= =我自己算出來的解答我都不覺的對了= =
推 CRAZYAWIND:當做我在自言自語吧= =
→ ntust661:?