推 alex2014:真是詳細的過程! 感謝高手的幫忙! 11/18 09:17
推 alex2014:當初我是令y=x^2 ,結果就錯了! 看來要再加油 11/18 09:32
※ 引述《alex2014 (綠影)》之銘言：
: 這是政大財政所的統計考題,雖說是統計,
: 但是需運用到積分,題目如下:
: f(x) = (√2/√π)*exp{-x^2/2} 0 < X <∞
: 要求Var(X)
: 但是我不太會積 E(X^2) , 運用變數變換時 ,對於啞變數的更動不熟悉
: 懇請高手們幫忙! 小弟在此先謝過!
: 感激不敬!
其實推文的大大提示很多了..
我只是幫忙算出來
∞ α-1 -w
先介紹 gamma function : Γ(α) ≡ ∫ w e dw
0
一些等等可能會用到的性質：
Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) < 分部積分可以得到 >
Γ(n)=(n-1)! , n為正整數 < 套用上面的性質 >
Γ(1/2) = √π < 轉極座標可以得到= = >
α ∞ α-1 -λy
令 w=λy 可以得到 : Γ(α) / λ = ∫ y e dy
0
這個積分在統計中很有用.. 等等應該會用到這個積分...
-----------------------題外話-------------------------------------
∞ α α-1 -λy
其實可以看出 ∫ [λ /Γ(α)] y e dy = 1
0
α α-1 -λy
f(y) = [λ /Γ(α)] y e ; y>0 就是 gamma 分配的 pdf ..
-------------------------------------------------------------------
那我們就來計算 Var(X) ...
2
∞ -x /2
E(X) = ∫ x * √(2/π) * e dx
0
2
看得出來指數上面的平方有點討厭.. 所以我們令 y= x /2
→ dy = xdx , x= √(2y) , dx = 1/√(2y) dy
∞ -y
E(X) = √(2/π) ∫ √(2y) * e * 1/√(2y) dy
0
∞ -y
= √(2/π) ∫ e dy
0
= √(2/π)
∞ -y ∞ 1-1 -1*y 1
其實 ∫ e dy 可以看成 ∫ y e dy = Γ(1)/1 = 0! = 1 啦..
0 0
但這個積分太好算了..用gamma的性質真的是拿牛刀 = =
2
2 ∞ 2 -x /2 2
E(X ) = √(2/π) ∫ x * √(2/π) * e dx < 一樣令 y= x /2 >
0
∞ -y
= √(2/π) ∫ 2y * e * 1/√(2y) dy
0
∞ 3/2 -1 -1*y
= 2/(√π) ∫ y e dy
0
3/2
= 2/(√π) * Γ(3/2) / 1
= 2/(√π) * (1/2) * Γ(1/2)
= 1/(√π) * (√π)
= 1
2 2
Var(X) = E(X ) - [E(X)] = 1 - π/2
其實這題..好像感覺不出來gamma有多好用...XDD
我想主要是因為λ=1吧.. (逃~)
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※ 編輯: goshfju 來自: 218.167.64.177 (11/18 01:23)