※ 引述《Nowitzness (Nowitzness)》之銘言：
: : 2. < 周易工數2-2第六題 >
: : consider the following initial value problem
: : d^2 x + 2 dx + x
: : ____ ____ = 0 x(0) = 1 ; x'(0) = c
: : dt^2 dt
: : where c is a parameter . find the range of c within which all solution
: : of the given initial value problem are non-negtive ,that is , determine
: : all possible values of c which yield x(t) > 0 for t > 0
: : = =
: : 答案是 : c > -1
: : 這題大意上就是要找 c 的範圍 使得ODE中的 x(t) 恆大於等於 0 ( 當 t 大於等於0 )
: : 不過我算了很多次 還是不太對 不知怎麼解才對 ?
: x=c1*e^-t + c2*t*e^-t
: 代入x(0)=1 得c1=1
: 代入x'(0)=c 得c2=1+c
: x=e^-t + (1+c)*t*e^-t
: =[(1+c)t+1]e^-t
: 因為e^-t>0
: 要滿足條件則
: (1)[(1+c)t+1]為正
: (2)t=0代入為正
: 為滿足(1) → 斜率≧0
: 故c>-1
: 當t=0代入 [(1+c)t+1]e^-t 驗證
: ∴c>-1為解
: (我怎麼覺得=-1也可以阿? 是不是哪漏掉了?有請高手解答!)
今天剛好算到這題
我的算法是
通解為 x(t) = [(1+c)t+1]e^-t
x(t) ≧0
也就是 (1+c)t+1 ≧ 0
(1+c)t ≧ -1
-1
1+c ≧ -----
t
-1
c ≧ ----- - 1
t
因為t≧0 故c≧-1
但是如果把c=-1這個值代回C2
得C2 = 0
x(t) = e^-t
重根項會消失只得一個解
與原題目為2階ODE不合
故c > -1為解
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