※ 引述《alex2014 (綠影)》之銘言：
: 設 Φ(x)=E[Y│X] ,試證 E{[ Y -Φ(x)]^2 } = E(Y^2) - E(Φ(x)^2 )
: 此題出自於黃義雄老師的機率與統計第三張習題!
: 解答寫得不太清楚!
: 希望有數統高手可以鼎力相助,小弟在此先謝過
: 謝謝大家!
參考看看
E{[ Y-Φ(x)]^2 }=E[ Y^2-2*Y*Φ(x)+Φ(x)^2 ]
=E[Y^2]-2E[Y*Φ(x)]+E[Φ(x)^2].........note 1.
~~~~~~~~~~
=E[Y^2]-2E{E[Y*Φ(x)∣X]}+E[Φ(x)^2]
=E[Y^2]-2E[Φ(x)^2]+E[Φ(x)^2]
=E[Y^2]-E[Φ(x)^2]
Note 1. E[Y*Φ(x)]=E{E[Y*Φ(x)∣X]}.....雙期望值定理 & note 2.
~~~~~~~~~~~~~
=E[Φ(x)^2]
Note 2. E[Y*Φ(x)∣X]=∫Y*Φ(x)*f(Y∣X)dy
=Φ(x)∫Y*f(Y∣X)dy
=Φ(x)*E[Y│X]
=Φ(x)^2
打得很亂
如有錯誤 歡迎指教^^
加油!!!
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