推 SkySoldier55: 深入淺出 很受用 12/03 03:41
※ 引述《claus6510 (NKA)》之銘言：
: ※ 引述《claus6510 (NKA)》之銘言：
: : 微分運算子的算式是怎麼算的?
: : 工數有問題回去問校內老師
: : 老師還說用他上課交的方法解題就好了
: : 對於微分運算子的解釋含糊帶過
: : 想請問各位高手是否可舉例幾題二皆非齊性方程
: : 然後講述一下每步的過程如何演變
: : 謝謝各位高手
: X例如Xp=(1/(D^2+2D+2))*5cos t = 5((2D-1)/(2D+1)(2D-1))cos t =2 sin t +cos t
我自己學逆運算的時候也很痛苦XD
幸好在板上有遇到貴人，讓我完全明瞭了
我也PO一下讓原PO知道如何運用好哩^^
1. 指數的逆運算子
1 ax ax
a型態. ──── [ e ] 這一類型就是把 e 移出去，然後下面的 D 用 a 帶入
(D + b)
1 ax
得到特解 ─── e 。
a + b
1 ax ax
b型態. ──── [ e ] 這種移出去 e 然後分母帶入 a 會等於零的時候，
D - a
ax
1 ax e
利用最原始的規則 ──── [ e ] = ────
L(D) L(D+a)
ax 1
則他就會變成 e ── [ 1 ] 。
D
1
注意 ── 不就代表 ∫ 嗎 ? 所以對 1 積分會得到 x
D
ax
所以答案會變成 x e 。
1 1 ax
c型態. ──── ──── [ e ]
(D + b) (D + c)
這種就是你常見的二階常係數ODE的逆運算子通式
通常找出特徵方程式之後再"逆運算"得到特解。
1
────── [ f(x) ]
2
D + αD +β
有理化之後，再有順序的一個一個解逆運算子。
很類似撥殼(先算完最裡面在往外算)
1 3x
ex : ───── e
( D + 1 )^2
1 1 3x
= ───── [ ──── e ]
(D + 1) (D + 1)
3x
1 e
= ───── [ ── ]
(D + 1) 4
1 3x
= ─── e
16
1 -2x
ex2. ───── [ e ]
(D + 2)^3
-2x 1
= e ─── [1] (對 1 連續積分三次)
D^3
3
x -2x
= ── e
3!
1 ax
d型態. 一般與指數相乘通式 ──── [ e f(x) ]
L(D)
會變成指數移出去， 然後分母 D 改成 D + a ，然後 f(x) 留在裡面
等待積分。
1 -3x
ex. ───── [ e sin 2x ]
(D + 3)
-3x 1
= e ──── sin 2x
(D-3)+3
-3x 1
= e ─── sin 2x
D
-3x 1
= e (- ── cos 2x )
2
n
--以上是指數類型的逆運算，其他 sin cos x 都差不多，如果不會我再PO好了QQ...
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