Re: [理工] [工數]-傅立葉轉換

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言：

    為了和乘號 * 作區隔

    convolution  會用  "⊕"  符號代替 = =ll


:              -1              -2∣w+2∣
: 1.find f(t)=F  [F(w)]  F(w)=e          cos(3w+6)
:               -j2t
:              e            1             1
:   答案 f(t)=-----  [-----------  +   --------  ]
:               π      4+(3+t)^2      4+(3-t)^2

            -i2t    -1
    f(t) = e     * F { F(w-2) }

            -i2t    -1  -2|w|      -1
         = e     * F { e     } ⊕ F { cos(3w) }

            -i2t        2/π        δ(t+3) + δ(t-3)
         = e     * [ _________ ]⊕[ _________________ ]
                     t^2 + 2^2              2

            -i2t    1           1             1
         = e     * ___ * [ ___________ + ___________ ]
                   π      (t+3)^2 + 4   (t-3)^2 + 4


:                               -x
: 2.find fourier integral f(x)=e  ,x>0   and f(x)=0  x<0 and evaluate
:     ∞ coswx+xsinwx
:    ∫ -----------    dx
:     0  1+x^2
:             1  ∞ coswx+wsinwx          ∞ coswx+xsinwx    πexp(-w) w>0
: 答案 f(x)=----∫ -----------   dw       ∫ ----------- dx=  0.5π    w=0
:            π  0   1+w^2                 0  1+x^2           0        w<0

                         ∞   -x    -iwx
    F{ e^(-x)*u(x) } =  ∫   e   * e     dx
                         0
                              e^[-(1+iw)x]  x=k
                     =  lim   ____________ ｜
                       k→∞    -(1+iw)     x=0

                              e^[-(1+iw)k] - 1
                     =  lim   ________________
                       k→∞     -(1+iw)

                          1
                     =  ______
                        1 + iw


       ∞ cos(wx) + x*sin(wx)
      ∫  ___________________ dx
       0        1 + x^2

        1   ∞  e^(iwx)   e^(-iwx)
    =  ___ ∫   _______ + ________  dx
        2   0   1 + ix     1 - ix

        1   ∞   e^(iwx)
    =  ___ ∫    _______ dx
        2   -∞  1 + ix

    =  πe^(-w)*u(w)      (由前面的結論可知)


    ps:  當 w=0 , 答案會差兩倍
　　　　 是因為這裡的  u(w) 定義為  Heaviside step function


:          ∞ w^3sinwx       π
: 3.prove ∫ -----------dw=------exp(-x)cosx   if x<0
:          0  4+w^4           2


    考慮

      ∞    w^3    iwx
     ∫   _______*e     dw
     -∞  w^4 + 4

      ∞           w^3           iwx
   = ∫   ____________________* e     dw
     -∞  (w^2+2w+2)(w^2-2w+2)

      ∞    (w+1)/2      (w-1)/2        iwx
   = ∫  [ __________ + __________ ] * e     dw
     -∞   (w^2+2w+2)   (w^2-2w+2)

      ∞    (w+1)/2       (w-1)/2        iwx
   = ∫  [ ___________ + ___________ ]* e     dw
     -∞   (w+1)^2 + 1   (w-1)^2 + 1

            -ix   -1   w/2          ix   -1   w/2
   = 2π*[ e   * F { _______ }  +  e  * F { _______ }  ]
                     w^2 + 1                w^2 + 1

                 -1    w
   =  2πcosx * F { _______ }
                    w^2 + 1

                 1   d   -1    1
   =  2πcosx * ___ ___ F { _______ }
                 i  dx      w^2 + 1

                  1   d   -|x|
   =  2πcosx *  ___ ___ e
                 2i  dx

   =  ┌  iπcosx * e^(-x)    if x>0
 　　 └  -iπcosx * e^(x)    if x<0


   所以原積分  =  ┌  (π/2)cosx * e^(-x)    if x>0
                  │  0                      if x=0
                  └ -(π/2)cosx * e^(x)     if x<0


  ps1:  注意題目的積分區間、與我所做的積分區間相差兩倍
  ps2:  解答怪怪的，沒有  x>0 的case = =
  ps3:  也可以用 convolution 去做
  ps4:  當 x=0 , 直接帶入原積分會 = 0


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (11/21 05:30)
→ ntust661:沒睡阿= =
→ CRAZYAWIND:科科 我的想法跟d大一樣
推 iyenn:m(_ _)m
推 kagato:好威= =
→ doom8199:第三題我想很久 QQ，原本想直接用複變去算的說XD
推 ntust661:酷喔
推 winer8:請問第2題的第6行到第7行為什麼能這樣換
→ winer8:我耍笨了  我看懂了= =
→ winer8:第3題最後EXP(-x)轉換是用背的嗎??
→ doom8199:看你@@，若你不想背起來，可以直接代定義算出來
→ doom8199:或是拆成  e^(-ax)u(x) + e^(ax)u(-x) ，再帶公式