→ Tonyy:謝謝 11/24 01:31
y※ 引述《Tonyy (Cool)》之銘言：
: 請教一題ODE 想了很久還是解不出來 希望有好心人可以解惑一下
: y'' - 3y' - 4y = x^-3 ( 5x-2 ) e^4x
: p.s 小括號裡面是 5x-2 不是5x的負二次方
: 答案 : y = c1 e^-x + c2 e^4x - x^-1 e^4x
: 謝謝 !!
2 -3 4x
( D - 3 D - 4 ) y = x ( 5 x - 2 ) e
Yh
(D + 1)(D - 4) y = 0
-x 4x
yh = c1 e + c2 e
Yp
-3 4x
R(x) = x ( 5 x - 2 ) e
-2 4x -3 4x
= 5 x e - 2 x e
參數變換法
-x 4x
yh = ψ1(x) e + ψ2(x) e
-x 4x
│e e │ 3x 3x 3x
W = │ -x 4x│ = 4 e - (-e ) = 5 e
│-e 4e │
- R y2 R y1
ψ1(x) = ∫───── dx ψ2(x) = ∫───── dx
W W
-3 4x
R(x) = x ( 5 x - 2 ) e
4x 4x -3
e e x ( 5 x - 2)
ψ1(x) = -∫ ───────────── dx
5e^3x
-x 4x -3
e e x ( 5 x - 2)
ψ2(x) = ∫────────────── dx
5 e^3x
5x
e -3
ψ1(x) = -∫ ── x ( 5 x - 2) dx
5
5x
e -3
ψ1(x) = ∫ ── x ( - 5 x + 2) dx
5
-3
2x 5x -2 5x
ψ1(x) = ∫ ── e dx - ∫ x e dx
5
-x 4x -3
e e x ( 5 x - 2)
ψ2(x) = ∫────────────── dx
5 e^3x
-3
x ( 5 x - 2)
ψ2(x) = ∫────────────── dx
5
-2 2 -3
= ∫ x - ── x dx
5
1 1
= - ── + ──
x 5 x^2
-x 4x
yh = c1 e + c2 e
-3
2x 5x -2 5x -x
ψ1(x) y1 = [∫ ── e dx - ∫ x e dx ] e
5
1 5x 1 5x 1 5x -x
= [ - ── e + ∫ ── e dx - ∫ ── e dx ] e
5 x^2 x^2 x^2
1 4x
= - ── e
5 x^2
1 1 4x
ψ2(x) y2 = [ - ── + ── ] e
x 5 x^2
So...
- 1 4x
ψ1(x) y1 + ψ2(x) y2 = ─── e
x
end
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