Re: [理工] [工數]-Laplace之反轉換

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 有點兒困難的兩題，請高手幫忙解解看。第二題出現exp的型式@@a，看到就暈了= =...
: 第一題的答案很長，"*"是折積，不是乘號。若解出其中任何一題懇請打個詳解_(_._)_
:                    s
: 1.F(s)=————————————     [交大土木]
:          [(s+2)(s^2+2s+10)]^2
:         1             1              1                  11
: ans:  ——e^(-2t) - ——te^(-2t) + ——[-e^(-t)cos3t + ——e^(-t)sin3t]
:        500           50             500                  3
:          1                                 1
:      + ——(e^(-t)sin3t)*(e^(-t)sin3t) - ——(e^(-t)sin3t)*(e^(-t)cos3t)
:         45                                50

---

    我是這樣想:

     -1         -t    -1          s-1
    L {F(s)} = e   * L  { ___________________ }
                          (s+1)^2 * (s^2+9)^2
                -t
             = e  * y(t)


    後面的 y(t) 等價於解以下的 ODE:

             2          -t
    (D^2 + 9) y = (1-2t)e  *u(t)
                                    with  y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0

    可以用逆運算子去解 yp , 不過考試應該不能這樣寫 = =

    所以看是要假設  u = y'' + 9y  去降階

    、未定係數法、    或是其它方法



    在這裡還是偷用一下逆運算子 QQ

    yc = c1*tcos(3t) + c2*tsin(3t) + c3*cos(3t) + c4*sin(3t)

              1            -t
    yp =  _________ (1-2t)e
          (D^2+9)^2

          -t         1
       = e  * _____________ (1 - 2t)
              [(D-1)^2+9]^2

          -t     1     1
       = e  * [ ___ + ___D + ... ] ( 1 - 2t)
                100   250

          -t    1     t     1
       = e  *[ ___ - ___ - ___ ]
               100   50    125

          -t    1     t
       = e  *[ ___ - ___ ]
               500   50

          -1
    即   L { F(s) }

        -t
     = e  *[ yc + yp ]

        -t
     = e  *{ c1*tcos(3t) + c2*tsin(3t) + c3*cos(3t) + c4*sin(3t)}

           -2t    1     t
       +  e   *[ ___ - ___ ]           for t>=0
                 500   50


    至於  c1 ~ c4

    就由  y(t) = yc + yp   帶入  y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0  去解

    好像也沒有比較快就是了 = =
                                -1
    不過  c3  可以馬上看出是   ____   ,  感動ing  QQ
                               500

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◆ From: 140.113.141.151
推 youmehim:娘子 快來看d大變魔術
→ iyenn:我用摺積說XDD
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→ doom8199:＝＝ 　　, 我在猜若想要真的做比較快，就要去背
→ doom8199:某某函數和某某函數的 convolution 結果,然後直接套 OTZ
推 smisfun:(膜拜)
推 comerjoy:做出一個答案，但跟解答不一樣，不過我的沒有摺積就是了
→ comerjoy:(1/3)(e^t‧cos3t(1/54-t/18)+(1/54)e^t‧sin3t)
→ comerjoy:不知道Laplace回去對不對...