Re: [理工] [工數]-冪級數

[ntust661 (661)]

※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 這題大概又是觀念問題了= =小弟觀念不好，不會判定nsin(1/n)是發散or收斂
: ，大大們幫個忙吧，題目如下
: 求以下級數收斂區間:
:  ∞         1    n
:  Σ(1－nsin──)x
: n=1         n
: ans:[－1,1]





   注意


              sin(1/n)
    1 - lim  ─────  = 1 - 1 = 0
        n→∞    1
                ──
                 n



   Ratio test

                              n+1
     (1 - (n+1)sin(1/(n+1))) x
    ───────────────
     (1 - (n)sin(1/n)) x^n



    羅璧達不行，換展開




              1     (1/n+1)^3         1      n+1
    ( 1  -  (── - ─── + ...) / ── )  x
             n+1       3!            n+1
    ────────────────────────────
              1     (1/n)^3           1      n
    ( 1  -  (── - ─── + ...) / ── )  x
              n       3!              n



        (1/n+1)^2          n+1
      ( ────  + ... ) x
          3!
  = ─────────────────────────
        ( 1 / n)^2         n
      ( ────  + ... ) x
           3!


           1         n+1
       ─────   x
         (n+1)^2
  =  ──────────────────────────
           1        n
       ─────  x
           n^2



  =  x



  假若，│x│ ≧ 1  發散


        │x│  < 1  收斂



  則收斂半徑 = [-1,1)


  是我寫錯嗎 @@? 1 應該是判斷不出來的吧?


  -1 是交錯級數，條件收斂


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.118.234.83
推 zendla:這個是...我吃驚了一下=口=
→ zendla:我先仔細看過一次
推 zendla:喔~~原來是這樣，我看懂了，非常謝謝你幫我解惑。
→ zendla:最後的收斂半徑是1對吧，所以|x|<1 故-1<x<1
→ zendla:他是把1和-1代回原級數看他有無發散
→ zendla:就跟你第一行算的一樣，1代入會等於0，故收斂
→ zendla:不過把sin展開這個我就沒想到了，原來要展開才能算= ="
→ ntust661:喔!?，帶入1似乎是交錯級數
推 zendla:不是啦，帶入1是你寫的"注意"底下那個算式。-1才是交錯