Re: [理工] [工數]-冪級數

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《ntust661 (661)》之銘言：
※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 這題大概又是觀念問題了= =小弟觀念不好，不會判定nsin(1/n)是發散or收斂
: ，大大們幫個忙吧，題目如下
: 求以下級數收斂區間:
:  ∞         1    n
:  Σ(1－nsin──)x
: n=1         n
: ans:[－1,1]
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◆ From: 140.118.234.83
推 zendla:這個是...我吃驚了一下=口=
→ zendla:我先仔細看過一次
推 zendla:喔~~原來是這樣，我看懂了，非常謝謝你幫我解惑。
→ zendla:最後的收斂半徑是1對吧，所以|x|<1 故-1<x<1
→ zendla:他是把1和-1代回原級數看他有無發散
→ zendla:就跟你第一行算的一樣，1代入會等於0，故收斂
→ zendla:不過把sin展開這個我就沒想到了，原來要展開才能算= ="
不需要把sin展開

這整題只要用三角關係就可以做出來

lim符號省略

1-nsin(1/n)
-----------------
1-(n+1)sin(1/n+1)

    -sin(1/n)+(1/n)cos(1/n)
-> ------------------------
    -sin(1/n+1)+(1/(n+1))cos(1/(n+1)))


-> 1 = R

x=-1 你還要證明(1-nsin(1/n))隨n增大遞減才可以用交錯級數  過程trivial

f(n) = 1-nsin(1/n)
                    ∞
x=1  級數 < f(1) + ∫f(x)dx = finite
                    1

所以收斂區間[-1,1]

→ ntust661:喔!?，帶入1似乎是交錯級數
推 zendla:不是啦，帶入1是你寫的"注意"底下那個算式。-1才是交錯
0分

a_n -> 0 as n-> 00

不代表級數收斂

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◆ From: 122.124.106.145
推 zendla:那個...我看了nutst大的解法很久，還是沒看出哪兒有錯
→ zendla:這種算級數是否收斂的解法不是先求
→ zendla:1.收斂半徑(由比值審斂or根值審斂)2.討論x等於收斂半徑
→ zendla:再代回原級數，看級數發散or收斂，最後寫收斂區間，不是嗎?
推 ntust661:積分檢定法似乎也行!
推 yyc2008:H大會不會是在說x=1的時候  質疑zendla an趨近零就說收斂?
推 yyc2008:"zendla:就跟你第一行算的一樣，1代入會等於0，故收斂"
推 zendla:那我大概懂H大的意思了，是不是要寫出nsin(1/n)這一項
推 yyc2008:我不懂你說的耶 但是H大他不是有寫出x=1收斂的理由嗎?
推 zendla:的極限證明他是否發散or收斂最後才能指出他收斂與否
推 zendla:不才第一次學這邊，若觀念有錯請不吝指點一下啊
→ Honor1984:你去查一下微積分課本數列與級數 就會很清楚哪裡錯了
推 zendla:好的，謝謝指點