Re: [理工] [工數]-Laplace

[ntust661 (661)]

※ 引述《hihaka2001 (hihaka)》之銘言：
: 請問各位
:       exp(-s)
: F(s)=----------
:      s (s^2+1)
: 題目要求用convolution作
: 所以我L-1 {exp(-s)/s}=H(t-1)
: L-1{1/s^2+1}=sint
: ∫(1~t) H(τ-1)sin(t-τ)dτ
: 這個要怎麼積分啊??Heviside有積分的嗎??

    t
   ∫  H(τ-1) sin(t-τ)dτ
    0


    Heaviside 它會把函數做分隔，在τ-1<0，H代表0，τ-1>0，H代表1


    所以只要把上下限變化就好。


     t
    ∫ sin(t-τ)dτ
     1


                │t
   =   cos(t-τ)│1  =  u(t-1) - cos(t-1)u(t-1)


                         Unit step function 還是要寫，不然可能會扣分吧@@



: 還有一題
: If L{tf(t)}=1/s(s^2-4) find out L{exp(-t)f(2t)}??
: 我知道t是微分的運算
: L{tf(t)}=1/s(s^2-4)


       -t
  L { e  f(2t) } = ??


   -1     1
  L { ──── } = t f(t)
      s(s^2-4)



          1    -1     1         1     -1  1    -1       s
  f(t) = ── L { ──── } = ──  L  ──( ── + ────)
          t       s (s^2-4)     t         4    s      s^2-4



                               1/4 (cosh(2t)-1)
                             = ─────────
                                      t


   積分定理



    1    ∞    s      1
   ── ∫  ─── - ── ds   = F(s)
    4    s   s^2-4    s


    1     1                  │∞
 = ── (──ln s^2-4 - lns) │s
    4     2


    1       √(s^2 - 4) │∞
 = ── ln  ─────  │
    4           s       │s


    1           s
 = ── ln ─────   = F(s)
    4      √(s^2 - 4)



       -t
  L { e  f(2t) } = ??


                              1      s + 1
 = 尺度變換 + 第一平移 = ... ── F(───)
                              2       2



    1     1              s+1/2
 = ── (── ln ──────────)
    2     4      √((s^2+2s+1)/4 -4)


    1              s + 1
 = ── ln ──────────
    8        √ s^2 + 2s - 15



應該是這樣@_@

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