Re: [理工] [工數]-高階ODE Euler cauchy方程

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《CRAZYAWIND (怒火燒不盡)》之銘言：
:  3         2                       6x^3
: x y''' - 4x y'' + 8xy' - 8y = ────────    <<94中興化工>>
:                                (x^2 + 1 )^3/2
: 這題yp項= = 我算了好久 用部份分式 或是重積分法 加上 三角代換
: 都展不回他給的答案                 3    5
:                 2     4     2x + 4x + 2x
: y(x) = c1x + c2x + c3x - ─────────
:                            √(1+x^2)

---
                                                 6x^3
      (x^3)y''' - (4x^2)y'' + (8x)y' - 8y =  ───────
                                             (x^2+1)^(3/2)

       y'''    4y''     8y'    8y              6
   →  ── -  ──  + ── - ──  =  ─────────
       x^2     x^3     x^4    x^5      x^2 * (x^2+1)^(3/2)

        y''     2y'      2y                6
   → [ ── -  ──  + ── ]'  =  ─────────
        x^2     x^3     x^4         x^2 * (x^2+1)^(3/2)

        (y/x)''                6
   → [ _______ ]'  =  ─────────
           x           x^2 * (x^2+1)^(3/2)

        (y/x)''                6
   →   _______   =  ∫  ─────────  dx      (令 u=1/x)
           x             x^2 * (x^2+1)^(3/2)

                           -6*u^3
                  =  ∫ ───────  du
                         (1+u^2)^(3/2)

                       6*u^2             6* 2u
                  =  ─────  - ∫  ───── du
                     √(1+u^2)         √(1+u^2)

                       6*u^2
                  =  ─────  - 12√(1+u^2)  + 6*c1
                     √(1+u^2)

                         6         12*√(1+x^2)
                  =  ─────  - ──────  + 6*c1
                     x√(1+x^2)         x

                         6
   →  (y/x)''    =  ───── - 12√(1+x^2)  + (6*c1)x
                     √(1+x^2)

                        -1             -1
   →  (y/x)'  =  6*sinh  (x) - 6*[sinh (x)  + x√(1+x^2)]  + (3*c2)x^2 + c3

               = -6*x√(1+x^2) + (3*c2)x^2 + c3

   →  (y/x)   =  ∫-6*x√(1+x^2) dx  +  c2*x^3 + c3*x + c4

               =  -2*(1+x^2)^(3/2) +  c2*x^3 + c3*x + c4

     or   y = -2x(1+x^2)^(3/2) +  c2*x^4 + c3*x^2 + c4*x



    ps:  以上積分可以假設 x = sinhθ   或  x = tanθ 去代換

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    考試若真的考出來

    這樣的算法穩定性似乎不高 OTZ

    所以提供一個比較穩定的作法:


      先求齊性解:     L(D)yc = 0   , 其中領導係數為 1

      以上面那題為例

      用 "任何方法" 解出  yc = c1*x^4 + c2*x^2 + c3*x

                      →  (yc/x) = c1*x^3 + c2*x + c3

                      →  (yc/x)' = c1*3x^2 + c2

                      →  (yc/x)'' = c1*6x

                      →  (yc/x)''/x = 6*c1

                      →  [(yc/x)''/x]' = 0


      所以可知道    (x^3)*[(yc/x)''/x]' = L(D)yc = 0

      因此最後要解  O.D.E.     L(D)y = f(x)

      就直接代換成    (x^3)*[(yc/x)''/x]' = f(x)   去解

      線性 O.D.E. 有幾階 就積分幾次XD



      我覺得這樣算會比  variation of parameter 這方法還快很多 ＝＝

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◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (12/10 04:28)
推 ntust661: = =
→ birdhackor:variation of parameter也是積三次..我不覺得這個會比
→ birdhackor:較快耶
→ doom8199:不過它還要額外多計算行列式 , 即使套 yp 公式
→ doom8199:也要先算出 Wronskian
→ doom8199:我覺得看個人習慣OTZ , 算得順手就可以XD
推 CRAZYAWIND:越看越覺的第一個方法超神的= =