[提供] [動力學] 鏈條滑下速率υ的正解。

[ntust661 (661)]

因為之前在板上PO過，這題還蠻經典的。


我終於找到方法了，所以PO上來分享囉!



   ├─   L  -  b  ─┤
   │                │
   │                │
    ΘΘΘΘΘΘΘΘΘ ＿＿
                     Φ
                     Φ   b
                     Φ
                     Φ＿＿




首先這是個不穩定平衡 ( Unstable Equilibrium )


輕微的擾動，就會讓物體開始運動。


就跟解微分方程一樣，要有初始值才行。他給了 b 這個東西


我們就要先開始解 b


--

條件

 鏈條密度  ρ

落下鏈條長 b

 摩擦係數  μ

 鏈條張力  T

重力加速度 g


--


首先在平衡下



 垂下來的


 Σ F  = 0 ， T - m g = 0
     y             1

              T - ρbg = 0


 躺在上面的


 Σ F  = 0 ， T - μN = 0
     x

              T - μm g = 0
                     2


              T - μρ(L-b)g = 0



           ┌─ T - μρ(L-b)g = 0
           │
  聯立 ──┤
           │
           └─ T - ρb g = 0



   μρ(L-b)g = ρb g


   μ(L-b) = b

                            μL
   μL - μb = b  ， b = ────
                          1 + μ




然後這時候加入微小擾動，讓落下鏈條長變成 b + Δb



開始設動力方程式



假設鏈條移動了 x 長 (當然要比 b 長一點)



ρx g - μρ(L-x)g = ρ L a

  ↓        ↓         ↓

 m g       μN        Σm a
  1



 x g - μg(L-x) = L a


      g
 a = ── ( x (1 + μ) - μL )
      L


  L       V
 ∫adx = ∫vdv
  b       0


  1    2     g      1            2            │L
 ── V   = ── ( ──(1 + μ) x   - μ(L)x )│
  2          L      2                         │b


             g      1           2      2        1           2
          = ── [(──(1 + μ)L  - μL ) - [(──)(1 + μ)b  - μLb] ]
             L      2                           2


             g     1            2   1            2
          = ── [──(-1 + μ)L - ──( 1 + μ)b  + μLb]
             L     2                2


帶入 b
                                           2 2          2
             g      1           2   1    μ L       L μ
          = ── [──(-1 + μ)L - ──(───) + ──── L ]
             L      2               2   1 + μ     1 + μ


                             2      2 2         2 2
             1    g         L   - μ L        μ L
          = ── ── (───────── + ───── )
             2    L          1 + μ           1 + μ


                          2
               g         L
          = ──── (────)
              2 L      1 + μ


        2      g L
       V  = ─────
              1 + μ



答案就出來哩@_@
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有需要的話我在打能量解(但應該只是差在 b 有沒有寫吧!?)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.118.234.83
推 youmehim:所以μ既是動摩擦係數 也是靜摩擦係數囉
→ youmehim:突然想到 假如是加微擾的話 當作鏈條已突破靜摩擦也合理
→ ntust661:對
→ boy210637:有興趣的話阿 去試試Lagrange eq.來解解看
→ ntust661:樓上可以指引我一下嘛?
推 squallting:lagrange解運動方程式爆快
→ ntust661:可以分享嗎QQ
→ boy210637:建議你先去找書來看 自己先弄懂 這樣對你以後動力學有很
→ boy210637:大的幫助
→ boy210637:這個已經算有點研究所的課程了
→ boy210637:其實他對保守系統真的超快 但非保守系統真的就很複雜了
推 qoodeva:推lagrange