[理工] [工數] Laplace解 O D E

[ntust661 (661)]

某年的考題




 x'' + 4x = δ''(t)



沒有給初始值


           2
 L{x''} = s X(s) - sx(0) - x'(0)



 L{4x}  = 4X(s)


               2
 L{δ''(t)} = s



令 x(0) = c1 ， x'(0) = c2


  2             2
(s + 4) X(s) = s  + c1s + c2


          2
         s + 4 - 4 + c1s + c2
X(s) = ───────────
               s^2 + 4


         c1s       c2 - 4
     = ──── + ──── + 1
        s^2 + 4    s^2 + 4



     = c1 cos2t + (c2 - 4)/2 sin2t  + δ(t)



     = c1 cos 2t + c2 sin 2t + δ(t)



我解出來是這樣，可是答案...




     = c1 cos 2t + c2/2 sin 2t + δ(t) - 2 sin(2t)u(t)



兩個差在哪裡呢??(不是齊性解可以合併進去嗎?)


--有請高手指點了> <

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◆ From: 140.118.234.83
推 youmehim:LT的轉換 f(t)只有t≧0的部分拿來用 t<0都沒了
→ youmehim:所以你求的解 只有t≧0的部分是對的
推 youmehim:至於t<0的部分 由於δ''(t)=0 解就是你的齊性解
→ youmehim:所以只要把你求得的特解乘上u(t) 就是完整的解囉
→ ntust661:不太懂= =
→ ntust661:我們不是都只討論 t > 0 嘛?
→ ntust661:會什麼還要特地把齊性解分開呢!?